高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法2课件新人教版A

第三章不等式§3.2

一元二次不等式及其解法(二)1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考

知识点一分式不等式的解法等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？答案梳理

一般的分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔

；(2)≤0⇔(3)

；

；f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知识点二一元二次不等式恒成立问题思考

x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集.x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？答案梳理

一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴

方.区间[a，b]

是不等式f(x)>0的解集的

.恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥

；k≤f(x)恒成立⇔k≤

.上子集f(x)maxf(x)min题型探究类型一分式不等式的解法例1解下列不等式：

<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.解答解答反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.跟踪训练1解下列不等式.解答解答方法一原不等式可化为方法二原不等式可化为类型二不等式恒成立问题例2设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；解答要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0，满足题意；若m≠0，则

⇒－4<m<0.∴－4<m≤0.(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.解答方法一要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立.当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.综上所述，m的取值范围是.方法二当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.引申探究把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.解答f(x)＜－m＋5，即mx2－mx－1＜－m＋5，m(x2－x＋1)－6＜0.设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)＜0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)＜0，即3(x2－x＋1)－6＜0，x2－x－1＜0，反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是___________.构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.答案解析(－∞，－5]类型三一元二次不等式的应用例3某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝ .在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到1km/h，

≈168.882)解答移项整理，得x2＋9x－7110>0.显然Δ>0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}.在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h.反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.跟踪训练3在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.解答由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01>12，S乙＝0.05x乙＋0.005

>10.分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.当堂训练由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是A.m≥2 B.m≤－2C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2123√4答案解析2.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是A.100台 B.120台 C.150台 D.180台√1234y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本的最低产量是150台.答案解析由题意知Δ<0，即1－4k<0，得k>，即k∈ .3.不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为________.1234答案解析原不等式等价于12344.解下列不等式：解答解得x≤1或x>2，∴原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}.原不等式可改写为1234解答规律与方法1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(