高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教版A

第1课时

一元二次不等式及其解法1.了解一元二次不等式的概念.2.掌握一元二次不等式的解集,会解一元二次不等式.3.掌握一元二次不等式的解集与其系数的关系.4.会解简单的含参数的一元二次不等式.1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.名师点拨1.“只含有一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母,只要明确指出,哪一个是变量,哪一些是参数就可以.2.“最高次数是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则其他参数的次数不受此条件的限制.【做一做1】

有下列不等式:①x2>0;②-x2-2x≤15;③x3-5x+6>0;④x2-y<0.其中一元二次不等式的个数为(

).A.1 B.2 C.3 D.4答案:B2.一元二次不等式的解集(1)一元二次不等式的解集如下表:(2)一元二次不等式的解法.步骤是:①利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式如下,ax2+bx+c>0或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c<0或ax2+bx+c≤0,其中a>0.②计算判别式Δ=b2-4ac的值.③当Δ>0时,解方程ax2+bx+c=0得两个不相等的实根x1,x2,不妨设x1<x2,则ax2+bx+c>0的解集为{x|x<x1,或x>x2};ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤x1,或x≥x2};ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2};ax2+bx+c≤0的解集为{x|x1≤x≤x2}.④当Δ=0时,解方程ax2+bx+c=0得两个相等的实根x1,x2,则ax2+bx+c>0的解集为{x|x≠x1};ax2+bx+c≥0的解集为R;ax2+bx+c<0的解集为⌀;ax2+bx+c≤0的解集为{x|x=x1}.⑤当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0没有实根,则ax2+bx+c>0的解集为R;ax2+bx+c≥0的解集为R;ax2+bx+c<0的解集为⌀;ax2+bx+c≤0的解集为⌀.【做一做2-1】

不等式x>x2的解集是(

).A.{x|x>1} B.{x|x<0} C.{x|0<x<1} D.R答案:C【做一做2-2】

不等式-x2-3x+4>0的解集为

.(用区间表示)

答案:(-4,1)1.一元二次不等式的解集与其系数的关系剖析(1)如果一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|n<x<m}(n<m),或一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是如果一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<n,或x>m}(n<m),或一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|x≤n,或x≥m}(n<m),2.利用二次函数的图象解一元二次不等式剖析我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵坐标,在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图象.因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐标是对应的函数值.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上的点的坐标的意义也是一样.由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0,位于x轴上的点的纵坐标等于0,位于x轴下方的点的纵坐标小于0,所以二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c>0的解集,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c<0的解集.所以可以用二次函数的图象来解一元二次不等式.当然,对于任意函数y=f(x),只要能画出它的图象,那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0.题型一题型二题型三题型四解一元二次不等式【例1】

解下列不等式:(1)x(7-x)≥12;(2)x2>2(x-1).分析由于所给的不等式不是一般形式,故应先将它们转化为一般形式,即不等式(1)可以化为x2-7x+12≤0再求解,不等式(2)可以化为x2-2x+2>0再求解.解(1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,Δ=1>0,对应方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.(2)原不等式可以化为x2-2x+2>0,因为判别式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0无实根,所以原不等式的解集为R.题型一题型二题型三题型四反思解一元二次不等式的一般步骤:(1)将不等式等价变形为一般形式,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据一元二次不等式的解集写出原不等式的解集.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)4(2x2-2x+1)>x(4-x).解(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略),知原不等式的解集为{x|x<-1,或x>6}.(2)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2.故原不等式等价于9x2-12x+4>0.题型一题型二题型三题型四已知一元二次不等式的解集求参数的值【例2】

关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},求a,b的值.分析-1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的两根,借助于一元二次方程根与系数的关系,求出a与b的值.解由ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},知a<0,且ax2+bx+2=0的两根分别是x1=-1,x2=2,题型一题型二题型三题型四反思已知一元二次不等式的解集求参数的值的步骤:(1)确定x2的系数a≠0;(2)明确不等式ax2+bx+c>0(或<0,或≥0,或≤0)的解集的“端点”是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根;(3)借助一元二次方程根与系数的关系,列出关于参数的方程(组),解得参数的值.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解由条件知1,2是方程x2+ax+b=0的两根,题型一题型二题型三题型四含参数的一元二次不等式的解法【例3】

解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).分析先对二次项系数a分大于0、小于0、等于0讨论,并分别求出对应方程的解,再根据解的大小写出解集.解当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1;题型一题型二题型三题型四反思含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情况写出相应的解集.若方程有两个相异实根,为了写出解集还要比较两个根的大小.另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】

解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).解原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0.对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.(1)当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a<x<2a};(2)当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;(3)当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}.综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a};当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽略二次项系数的正负致错【例4】

解不等式(2-x)(x+3