2019届江苏专用高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦

§4.5简单的三角恒等变换基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos

αcos

β＋sinαsin

β，(C(α－β))cos(α＋β)＝

，(C(α＋β))sin(α－β)＝

，(S(α－β))sin(α＋β)＝

，(S(α＋β))tan(α－β)＝

，(T(α－β))tan(α＋β)＝ .(T(α＋β))知识梳理cos

αcos

β－sinαsin

βsinαcos

β－cos

αsin

βsinαcos

β＋cos

αsin

β2.二倍角公式sin2α＝

，(S2α)cos2α＝

＝

＝

，(C2α)tan2α＝

.(T2α)2sinαcos

αcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α知识拓展思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.(

)(2)在锐角△ABC中，sinAsin

B和cos

Acos

B大小不确定.(

)(3)若α＋β＝45°，则tanα＋tanβ＝1－tanαtan

β.(

)(4)对任意角α都有1＋sinα＝(sin＋cos)2.(

)(5)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(

)(6)在非直角三角形中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtan

Btan

C.(

)√×√√×√考点自测1.tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝

.答案解析∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)答案解析3.(2016·全国丙卷改编)若tanθ＝－

，则cos2θ＝

.答案解析4.(2015·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝

，则tanβ的值为

.答案解析3tanβ＝tan[(α＋β)－α]5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)＝cos2x＋6cos的最大值为

.答案解析5所以当sinx＝1时函数的最大值为5.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型分类深度剖析解答解答(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.思维升华跟踪训练1(1)(2016·全国丙卷改编)若tanα＝

，则cos2α＋2sin2α＝

.答案解析答案解析题型二和差公式的综合应用命题点1角的变换答案解析又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos

α>cos(α＋β).于是cos

β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos

α＋sin(α＋β)sinα(2)(2016·镇江期末)由sin36°＝cos54°，可求得cos2016°的值为

.答案解析由sin36°＝cos54°，得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos(36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°·cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，答案解析

故tanβ＝1.方法二tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)解答引申探究解答＝－cos

θ.(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.思维升华答案解析－cos2α答案解析＝1－2cos2α＝－cos2α.答案解析1

利用联系的观点进行角的变换思想与方法系列8思想方法指导答案解析3返回返回课时作业12345678910111213答案解析答案解析12345678910111213答案解析12345678910111213答案解析由于α、β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以cos

β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos

α＋sin(α＋β)sinα12345678910111213答案解析12345678910111213β<α答案解析12345678910111213答案解析123456789101112138.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α－45°)＝－

且0°<α<90°，则cos2α的值为

.答案解析cos2α＝sin(90°－2α)＝－sin(2α－90°)＝－sin[2(α－45°)]＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)12345678910111213答案解析1234567891011121310.将函数y＝

cos

x＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是

.答案解析12345678910111213解答12345678910111213解答由(1)知sin2α＝2sinαcos

α12345678910111213解答12345678910111213又