2019届江苏专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第二课时范围最值问题讲义文苏

§9.8

圆锥曲线的综合问题第2课时范围、最值问题课时作业题型分类深度剖析内容索引题型分类深度剖析题型一范围问题解答(1)求直线FM的斜率；几何画板展示又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c).(2)求椭圆的方程；解答解答设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华解答所以点F1的坐标为(－2,0)，点F2的坐标为(2,0)，(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围.解答设点P的坐标为(x0，y0)，点M的坐标为(xM，yM)，又椭圆离心率e∈(0,1)，题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2

(2016·徐州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是____.答案解析4几何画板展示命题点2数形结合利用几何性质求最值例3

(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为______.答案解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值(1)求椭圆C的方程.解答设椭圆的半焦距为c.(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.证明设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).②求直线AB的斜率的最小值.解答设A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直线PA的方程为y＝kx＋m，则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华跟踪训练2

(2016·苏州模拟)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；解答所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解答设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.所以AB2＝(x0－t)2＋(y0－2)2课时作业1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______.答案解析123456789Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.[－1,1]答案解析123456789求MP的最小值可以转化为求OP的最小值，当OP取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，123456789答案解析(1,3]123456789由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，在△PF1F2中，PF1＋PF2≥F1F2，又e>1，所以1<e≤3.1234567894.已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则MA＋MF的最小值是____.答案解析5123456789依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有MA＋MF＝MA＋MM1，结合图形(图略)可知MA＋MM1的最小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即6－1＝5，因此MA＋MF的最小值是5.5.(2017·郑州第一次质量预测)已知椭圆C1：

与双曲线C2：

有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________.答案解析123456789∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，1234567891234567896.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是____.答案解析3123456789则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).1234567897.已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且(1)求椭圆的方程；解答123456789由题意，知椭圆的焦点在y轴上，(2)求m的取值范围.解答123456789123456789设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，所以－x1＝2x2.整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时等式不成立，1234567898.(2016·苏北四市联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

(a>b>0)的离心率e＝

，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.(1)求椭圆C的标准方程；解答123456789因为左顶点为A(－4,0)，又因为b2＝a2－c2＝12，123456789(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解答123456789直线l的方程为y＝k(x＋4)，化简，得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，123456789因为P为AD的中点，直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0，得点E的坐标为(0,4k).假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，则kOPkEQ＝－1，123456789因此定点Q的坐标为(－3,0).123456789解答123456789因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，由OM∥l，123456789123456789