高中数学第二章数列本章整合课件新人教版A

本章整合第二章数列专题一专题二专题三专题四专题一

等差数列与等比数列的基本运算在等差(或等比)数列中,首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量,一般的等差(或等比)数列的计算问题,都可以设出这两个量求解.在等差数列中的五个量a1,d,n,an,Sn(或等比数列中的五个量a1,q,n,an,Sn)中,可通过列方程组的方法知三求二.专题一专题二专题三专题四应用已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∴an=-10+(n-1)·2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.∵b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,∴-8q=-24,即q=3.专题一专题二专题三专题四专题二

以数阵为背景的数列问题所谓数阵是指将某些数,按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵不仅有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常解题中最常见的是前两种.数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列.解决此类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生具有较强的观察分析、归纳猜想以及对数列知识融合迁移的能力.下面看一下几种题型.专题一专题二专题三专题四应用1如图所示的数阵,第n行最右边的数是

.

解析:设第n行左边第一个数为an,则a1=1,a2=3=a1+2×1,a3=7=a2+2×2,…,an=an-1+2(n-1),把这些式子左右两边分别相加,得an=n2-n+1.又每一行都是公差为2的等差数列,且第n行有n个数,则第n行最右边的数是(n2-n+1)+(n-1)×2=n2+n-1.答案:n2+n-1专题一专题二专题三专题四应用2德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是分子为1、分母为正整数的分数)称为莱布尼茨三角形.根据前5行的规律,写出第6行的数从左到右依次是

.

专题一专题二专题三专题四应用3自然数按如图所示的规律排列,则2016是第

行第

个数.

解析:设第n行最右边的数即第n行第n个数是an,则a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+5,…,an=1+2+3+…+n则2

016是第63行第63个数.答案:63

63专题一专题二专题三专题四应用4给定81个数排成数阵如图所示,若每一行,每一列都构成等差数列,且正中间一个数a55=5,则此数阵中所有数之和为

.

a11

a12

…

a19

a21

a22 … a29 … … … …

a91

a92 … a99专题一专题二专题三专题四解析:由于每一行都成等差数列,同理可得,a21+a22+…+a29=9a25,…,a91+a92+…+a99=9a95.又每一列都成等差数列,则此数阵中所有数之和S=(a11+a12+…+a19)+(a21+a22+…+a29)+…+(a91+a92+…+a99)=9(a15+a25+…+a95)=9(9a55)=81a55=81×5=405.答案:405专题一专题二专题三专题四专题三

数列的综合问题数列是高中代数的重点内容,也是高考的必考内容,它始终处在知识的交汇点上,如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题.另外,等比数列与等差数列的综合应用也是高考的热点之一,对公式的变形应用是考查的重点,一般多以解答题的形式考查,有时作为压轴题,难度较大.专题一专题二专题三专题四应用1已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;解(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四应用2已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,…(1)证明:数列{lg(1+an)}是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题四

数学思想方法数学思想方法是数学的精髓,是将知识转化为能力的桥梁,数列中含有丰富的数学思想,了解数学思想对我们的解题大有益处.1.函数思想数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决问题,比如求等差数列前n项和Sn的最值时,常转化为求关于n的二次函数的最值或用数形结合或利用函数图象来求值的方法.专题一专题二专题三专题四应用1在等差数列{an}中,3a8=5a13,a1>0,若Sn为{an}的前n项和,则S1,S2,…,Sn中有没有最大值?请说明理由.解∵3a8=5a13,a1>0,∴此等差数列不是常数列,∴其前n项和Sn是关于n的二次函数,我们可以利用配方法,结合二次函数的性质求解.设数列{an}的首项为a1,公差为d,故当n=20时,Sn最大,即该数列前20项之和最大.专题一专题二专题三专题四2.分类讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统一研究或推理时,需通过分类讨论解决,如运用等比数列求和公式时,需对q分q=1和q≠1两种情况进行讨论;an与Sn的关系需分n=1和n≥2两种情况讨论;等差数列的单调性需分d>0,d=0和d<0三种情况讨论;等比数列的单调性就要分二重讨论,在a1>0(或a1<0)的条件下,再分q>1,q=1,0<q<1,q<0四种情况讨论.专题一专题二专题三专题四应用2数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.又S1=a1=1,∴数列{Sn}是首项为1,公比为3的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*).当n≥2时,an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2),专题一专题二专题三专题四(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.当n=1时,T1=1;当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1专题一专题二专题三专题四3.化归与转化思想化归与转化思想就是把待解决的问题或未知解的问题转化归纳为已有知识范围内可解的问题的一种数学思想.数列中一些很复杂的问题往往可以转化为等差数列或等比数列来解决.专题一专题二专题三专题四应用3已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=4an+2(n∈N*),求{an}的通项公式.解当n≥2时,Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2.两式相减,得an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1),可见数列{an+1-2an}是公比为2的等比数列.又a1+a2=S2=4a1+2,a1=1,得a2=5,则a2-2a1=3.因此an+1-2an=3·2n-1.123456789101112131(2015·课标全国Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(

).答案:B123456789101112132(2015·课标全国Ⅱ高考)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(

).A.21 B.42 C.63 D.84答案:B123456789101112133(2015·课标全国Ⅱ高考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(

).A.5 B.7 C.9 D.11答案:A12345678910111213答案:C123456789101112135(2016·北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=

.

解析:∵{an}是等差数列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.答案:6123456789101112136(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=

,S5=

.

解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.答案:1

12112345678910111213解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3⇒d=3,a9=2+3×6=20.答案:20123456789101112138(2016·上海高考)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为

.

解析:由于对任意n∈N*,Sn∈{2,3},所以当n=1时,a1=S1=2或a1=S1=3.即数列{an}的首项是2或3.当n≥2时,由an=Sn-Sn-1及题意知有下列几种情况:①an=2-2=0,②an=3-3=0,③an=3-2=1,④an=2-3=-1.由上可知组成这个数列{an}的数为-1,1,0,2,3这5个数或只有这5个数中的一部分.12345678910111213下面说明2和3不能同时出现在{an}中.当a1=2时,假设an=3,n≥2,则Sn=an+Sn-1=3+Sn-1,由于Sn-1∈{2,3},所以Sn∉{2,3},不符合题意,同理,a1=3时,{an}中也不会出现2.所以{an}中只可能出现-1,1,0,2或-1,1,0,3,故k的最大值为4.答案:4123456789101112139(2015·课标全国Ⅰ高考)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=

.

∴{an}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴2n=64,∴n=6.答案:61234567891011121310(2016·全国甲高考)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1000项和