3-2函数与方程、不等式之间的关系(人教B版2019必修第一册)

3.2函数与方程、不等式之间的关系x1x2△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1(x2)△>0△=0△<0有两个不相等实根x1,x2(x1<x2)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x1<x<x2﹜有两个相等实根x1=x2无实根﹛x|x≠x1﹜ØØR前

提

测

评1.求下列方程的根．2.画出下列函数的图象-31-1-2-1-2210方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标X-2=0y=x-2①函数零点的定义

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。零点是一个点吗?是交点的横坐标

方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有交点.？导学达标xy-13412-2①在区间上

零点（填“有”或“无”）

f(-2)=

，f(1)=＿＿＿，

f(-2)·f(1)

0,（填“<”或“>”）探究（一）(Ⅰ)观察二次函数f(x)=x2－2x-3的图象②在区间[2,4]上

零点,f(2)=

,f(4)=

,f(2)·f(4)

05-4<5<有有-3导学达标返回目录

若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是

，且

，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b)内

，函数f(x)有零点；即函数y=f(x)的图像

或者方程f(x)=0

.连续曲线

f(a)f(b)＜0

至少有一个实数解

与x轴有交点

有解

端点函数值异号，则函数有零点？函数图象连续0yx0yxxy0ab导学达标③零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零点。注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点。导学达标xy0

下图中在区间内有几个零点?探究（二）什么情况下只有唯一一个零点？端点函数值异号的单调函数导学达标③零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零点。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·

f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。导学达标11用一用解：因为又的图象是连续的,所以在区间[-1,0]内有零点,即在区间[-1,0]内有实数解。分析：判定方程有没有实数解即可以等价转化为相应函数有没有零点新知应用12例2判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.解:构造函数f(x)=(x-2)(x-5)-1

则f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线,所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一交点,在(-∞,2)内也有一个交点.yx25-1O

所以相应的方程(x-2)(x-5)-1=0有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2新知应用返回目录

考点一函数零点的判断与求解

1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;(1)解法一:∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.

解法二:

令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,∴函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.返回目录

1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;解:

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零点.返回目录

考点二零点性质的应用（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；【解析】(1)若a=0，则f(x)=-x-1,

令f(x)=0，即-x-1=0,得x=-1，故符合题意;

若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数,

故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,

解得a=-.

综上所述,a=0或a=-.前

提

测

评1、函数y＝f(x)的图象在[a,b]内是连续的曲线，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)内（）

A．只有一个零点

B．至少有一个零点

C．无零点

D．无法确定B练一练前

提

测

评2、

若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值（）A．大于0 B．小于0C．无法判断

D．等于零C前

提

测

评3、

不论m为何值，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有（）A．2个B．1个C．0个D．不确定A

利用二分法求方程

的近似解问题1算一算：查找线路电线、水管、气管等管道线路故障定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于：

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电线杆附近，要检查多少次？方法分析：实验设计、资料查询；是方程求根的常用方法！7次零点存在定理

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.实例体验：-1f(x)yxO12345在下图中，函数y=f(x)在[-1,5]上的图像是一条连续的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，试用二分法求方程f(x)=0的一个解。取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即

f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解，于是再取[2,5]的中点3.5，……如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0,

则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数总不为0，那么，不断重复上述操作，抽象概括利用二分法求方程实数解的过程选定初始区间取区间的中点中点函数值为0MN结束是否是1.初始区间是一个两端函数值符号相反的区间2.“M”的意思是取新区间，其中一个端点是原区间端点，另一个端点是原区间的中点3.“N”的意思是方程的解满足要求的精确度。中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0是是结束是NNN二分法求方程的近似解

对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫作二分法．二分法:前提

下列函数的图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0解析:考察函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经试算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x-3=0在[0,1]内有解.如此下去,得到方程2x3+3x-3有解区间的表如下:例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精度为0.01次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0-3121第2次0.5-1.25120.5第3次0.5-1.250.750.093750.25第4次0.625-0.636718750.750.093750.125第5次0.6875-0.2875976560.750.093750.0625第6次0.71875-0.1011352540.750.093750.03125第7次0.734375-0.0047683720.750.093750.015625第8次0.734375-0.0047683720.74218750.0442190170.0078125至此，我们得到，区间[0.734375,0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01，因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程2x3+3x-3=0的近似解.例如我们选取0.74作为方程2x3+3x-3=0的一个近似解.