中考数学总复习第四章第21课时解直角三角形的应用课件

第21课时解直角三角形的应用1.会运用勾股定理解决简单的应用问题.2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.

3.了解俯角、仰角、方位角、坡角、坡度等概念. 4.了解近似数；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.

1.从__________看，视线与_________的夹角叫作仰角.答案：下往上水平线

2.从__________看，视线与_________的夹角叫作俯角.答案：上往下水平线

3.坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫作______________________，记作i，即i＝________.答案：坡面的坡度(坡比)

4.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α，tanα＝________＝________.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.答案：h li5.指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角为________.答案：方向角6.一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.仰角与俯角

1.如图，小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度.坡角2.如图，一水库迎水坡AB的坡度i＝1∶

，则该坡的坡角α＝________.答案：30°

3.如图，水池的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD的坡度i＝1∶1.2，坝顶宽DC＝2.5m，坝高CF＝4.5m.求：(1)迎水坡BC的长；(2)迎水坡BC的坡度；(3)坝底AB的长.(结果精确到0.1)解：如图，作DE⊥AB于点E，(1)∵CF＝4.5，∠B＝30°，方位角

4.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，设AD＝x，则AC＝

x.∴BD＝AB－AD＝2－x，∵∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题5.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝则此斜坡的水平距离AC为()A.75mB.50mC.30mD.12m答案：A

6.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图的三角形空地上移植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()

B.225a元D.300a元A.450a元C.150a元答案：C

与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法，适当添加辅助线构造直角三角形.

1.(2021·深圳)如图所示，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的高

) B.15tan64°D.15tan32°用三角函数表示为( A.15sin32° C.15sin64°

答案：C

2.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是()答案：D

3.(2020·黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为()A.

4sinα米B.4sinα米C.

4cosα米D.4cosα米答案：B

4.(2021·日照)如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1∶

，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是()答案：A

5.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是()答案：B

6.(2021·济南)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为(参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数)()A.188mB.269mC.286mD.312m答案：C

7.(2021·玉林)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿____________________方向航行.答案：北偏东50°

8.如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为4米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是__________米.

9.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行__________分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.答案：15

10.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为________米.答案：750

11.(2021·包头)某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，C，D在同一水平面内). (1)求A，D两点之间的距离； (2)求隧道AB的长度.解：(1)过点A作AE⊥CD于点E，如图所示，则∠AEC＝∠AED＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°，

12.(2022·广州)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图所示，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD.(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求旗杆AB的高度.条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°.注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40.解：(1)∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8(m)，∴BC的长为8m.(2)若选择条件①：∴AB＝12.8，∴旗杆AB的高度为12.8m；若选择条件②：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF·tan54.46°≈8×1.40＝11.2(m)，∴AB＝AF＋BF＝11.2＋1.6＝12.8(m)，∴旗杆AB的高度约为12.8m.13.(2020·镇江)如图，点E与树AB的根部点A，建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H，B，D三点在一条直线上).已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度(结果精确到0.1m，参考数据：解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，则BN＝NH，设BN＝NH＝x.∵HF＝6，∠BFN＝30°，解得x＝8.19，根据题意可知，DM＝MH＝MN＋NH，∵MN＝AC＝10m，则DM＝10＋8.19＝18.19(m)，∴CD＝DM＋MC＝DM＋EF＝18.19＋1.6＝19.79(m)，19.79m≈19.8m.答：建筑物CD的高度约为19.8m.

14.如图，某湖中有一座小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA＝26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A，B为参照点，结果精确到0.1米，参考数据：sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50)解：设PD＝x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90°，

又∵AB＝80.0米， ∴1.25x＋2x＝80.0，

解得x≈24.6，即PD≈24.6米， ∴DB＝2x＝49.2. ∴小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距点B约49.2米.

15.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°.安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？(计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)图1图2

解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，

在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10，

则OE＝OA·cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，

在Rt△ABF中，∠BOF＝146°－90°－26°＝30°，AB＝8，

∴OG＝BD－BF－OE＝(175＋15)－4－9＝177(cm).

答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm.

16.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.图1是政府给贫困户新建的房屋，图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A