2025届高考数学二轮专题复习与测试专题6极值点偏移课件

微专题6极值点偏移大题考法1

PART01第一部分(2)若函数f(x)在x＝e处取得极值，且f′(x1)＝f′(x2)，x1<x2，证明：2<x1＋x2<e.令g(x)＝2x(lnx－1)(x>0)，因为g′(x)＝2lnx，当x＝1时，g′(x)＝0；当x∈(0，1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．且当x∈(0，e)时，g(x)＝2x(lnx－1)<0；当x∈(e，＋∞)时，g(x)＝2x(lnx－1)>0，故0<x1<1<x2<e.先证x1＋x2>2，只需证x2>2－x1，易知x2>1，2－x1>1，下面证明：g(x1)＝g(x2)>g(2－x1).设t(x)＝g(2－x)－g(x)，x∈(0，1)，则t′(x)＝－g′(2－x)－g′(x)，t′(x)＝－2ln(2－x)－2lnx＝－2ln[(2－x)·x]>0，故t(x)在(0，1)上单调递增，又t(1)＝0，故t(x)<0，所以t(x1)＝g(2－x1)－g(x1)<0，则g(2－x1)<g(x1)＝g(x2)，所以2－x1<x2，即得x1＋x2>2.下面证明：x1＋x2<e.令g(x1)＝g(x2)＝m，当x∈(0，1)时，g(x)－(－2x)＝2xlnx<0，所以g(x)<－2x成立，对称构造法是解决极值点偏移的基本方法，主要有四个基本步骤：①求函数f(x)的极值点x0；②构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；③确定函数F(x)的单调性；④结合F(x0)＝0，判断F(x)的符号，从而确定f(x)，f(2x0－x)的大小关系．记忆口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随．已知函数f(x)＝lnx－x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝f(x)＋a，若x1，x2∈(0，e]是函数g(x)的两个不同零点，①求实数a的取值范围；②求证：x1x2＜1.解：①若x1，x2∈(0，e]是g(x)的两个不同零点，则y＝f(x)的图象与直线y＝－a在(0，e]上有两个不同交点．由(1)知f(x)max＝f(1)＝－1，又f(e)＝1－e，则f(x)在(0，e]上的大致图象如图所示，由图象可知1－e≤－a＜－1，所以1＜a≤e－1，即实数a的取值范围为(1，e－1].大题考法2PART02第二部分(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.消参减元在消去参数后常利用比(差)值换元进行减元，进而建立与所求解问题相关的函数．就是根据已知条件首先建立x1，x2之间的关系，然后利用x1，x2之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．此法用比值或差值(一般用t表示)表示x1，x2，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题．其解题要点如下：建方程根据题设条件建立x1，x2所满足的方程定关系根据x1，x2所满足的方程，利用方程解的理论，建立x1，x2与参数之间的关系消参减元根据x1，x2之间的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元构造函数根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数求解问题利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题已知函数f(x)＝