高考数学总复习《函数的图象与函数的零点问题》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《函数的图象与函数的零点问题》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【知识点1函数的图象问题】1.作函数图象的一般方法(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.2.函数图象识别的解题思路(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【知识点2函数的零点问题】1.函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.2.已知函数零点求参数的方法(1)已知函数的零点求参数的一般方法①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.(2)已知函数零点个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【题型1函数图象的画法与图象变换】【例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数y=xx−1的图象，只需将函数y=1A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【变式1-1】（2023上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数y=−x2A．

B．

C．

D．

【变式1-2】（2023上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数fx(1)求f(6)，f(−1)的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出y=fx【变式1-3】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：(1)y=2x−1(2)y=x【题型2函数图象的识别】【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数y=x2−1A． B．C． D．【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数y=fx的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（

A．x2fx B．fxx2【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数y=x3−xA． B．C． D．【变式2-3】（2020上·广东·高三校联考阶段练习）函数fx=x2sinA．

B．

C．

D．

【题型3函数图象的应用】【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数fx=2axA．−13 B．−23 C．【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数y=fx和y=gx的图象，则不等式

A．−∞,−1∪C．−1,0∪1,+∞【变式3-2】（2023上·浙江·高一校联考期末）函数y=ax−bx−c的图像如图所示，可以判断a，b，cA．a<0，b>0，c=0 B．a>0，b>0，c=0C．a<0，b=0，c>0 D．a<0，b=0，c=0【变式3-3】（2023·陕西西安·统考三模）定义域和值域均为−a,a(常数a>0)的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，则方程fgA．1 B．2 C．3 D．4【题型4函数零点所在区间的判断】【例4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数fx=3x+x−6有一个零点x=A．12,1 B．1,32 C．【变式4-1】（2023·海南·模拟预测）函数f(x)=A．(1,e) B．e,e2 C．e2【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数f(x)=2x+log2A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a【变式4-3】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数fx=x2−5,x≤−2xlg(x+2),x>−2，若方程A．−3 B．−2 C．1 D．2【题型5求函数的零点或零点个数】【例5】（2023·陕西西安·西安校考模拟预测）函数fx=1−lgA．log38 B．2 C．log3【变式5-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=5x−5(x≤1)x2−4x+3(x>1)，则函数A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有fx+2+f2−x=0，当x∈0,2时，fA．10 B．15 C．20 D．21【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)=f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)=log2(−x)，则函数g(x)=f(x)−2在A．16 B．12 C．10 D．8【题型6根据函数零点的分布求参数】【例6】（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax2−4x−1a≠0在区间A．−3,0∪0,5 C．−4∪−3,0∪【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=3ax−1−2a在区间−1,1上存在零点，则实数a的取值范围是A．(−∞,−1)∪B．1C．−∞,−D．−∞,−【变式6-2】（2023·云南·统考二模）设x1,x2是关于x的方程x2+a−1A．−43,−1 B．−34【变式6-3】（2022·高一课时练习）已知函数f(x)=mx2−3x+1的零点至少有一个大于0，则实数mA．(−∞,2) C．(−∞,9【题型7根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数fx=3x−1,x<1logA．0,2 B．−2,0C．0,1 D．−1,0【变式7-1】（2023上·四川凉山·高一校联考期末）设函数f(x)=3x−2,x≤27x−1,x>2A．32,73 B．2,73【变式7-2】（2023上·山东滨州·高一校考竞赛）已知函数fx(1)求f4(2)若关于x的方程f2x−2tf【变式7-3】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知a>0且a≠1，函数fx(1)若a=e且x∈1e(2)若函数fx有两个零点，求实数a【题型8函数零点的大小与范围问题】【例8】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx=minxx−2a,x2−6ax+8a2+4（a>1），其中minp,q=p,p≤qq,p>q，若方程A．不能确定 B．x1+x2=x【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数fx=x−5,x>0x2+2x−2,x≤0，若存在f(x1)=f(A．(−1,1) B．(−1,1] C．(0,1] D．[0,1]【变式8-2】（2023·广西·模拟预测）已知函数fx=2ln(1)求m的取值范围；(2)记三个零点为x1,x2,【变式8-3】（2023下·湖南·高二校联考期末）已知函数f(x)=ax3+bx2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[0,3]，函数F(x)=f(x)−xe−x有三个零点x1，x2，x31．（2018·浙江·高考真题）函数y=2|x|sin2xA． B．C． D．2．（2021·天津·统考高考真题）设a∈R，函数f(x)=cos(2πx−2πa).x<ax2−2(a+1)x+a2+5,A．2,94∪C．2,94∪3．（2023·天津·统考高考真题）若函数fx=ax2−2x−4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=cosωx−1(ω>0)在区间0,2π5．（2022·天津·统考高考真题）设a∈R，对任意实数x，记fx=minx−2,x26．（2021·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=lg①若k=0，f(x)恰有2个零点；②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点；③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点；④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．7．（2018·全国·高考真题）已知函数fx（1）若a=3，求f（2）证明：fx8．（2018·全国·高考真题）已知函数fx（1）若a=1，证明：当x≥0时，（2）若fx在(0,+∞)只有一个零点，求a参考答案【题型1函数图象的画法与图象变换】【例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数y=xx−1的图象，只需将函数y=1x的图象（

）A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【解题思路】先变形得到y=x【解答过程】y=x故y=1x先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到故选：A.【变式1-1】（2023上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数y=−x2A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.【解答过程】

因为y=3−将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.故选：C.【变式1-2】（2023上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数fx(1)求f(6)，f(−1)的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出y=fx【解题思路】（1）将x=6以及x=−1代入解析式，即可得出答案；（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.【解答过程】（1）由已知可得，f6=2（2）在坐标系中描点2,1，4,0.5，−3,0，3,0作出y=fx【变式1-3】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：(1)y=2x−1(2)y=x【解题思路】（1）化简y=2x−1x−1可得（2）化简y=x2−2|x|−1【解答过程】（1）由题意得y=2+1x−1，其图象可由再向上平移2个单位得到，即：

（2）由题意得y=x分段作出二次函数图象，则y=x【题型2函数图象的识别】【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数y=x2−1A． B．C． D．【解题思路】根据函数的解析式，利用f1【解答过程】由题意，函数fx因为f1=0，即函数fx又因为f(−2)=3e故选：C.【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数y=fx的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（

A．x2fx B．fxx2【解题思路】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解.【解答过程】对于A，当x<0时，f(x)<0，所以x2fx对于B，当x<0时，f(x)<0，所以fxx2对于C，当x<0时，f(x)<0，所以xf(x)>0，且x→−∞时，f(x)→−∞，xf(x)→+∞；当x>0时，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→+∞时，f(x)→0，对于D，当x<0时，f(x)<0，则f2(x)>0，所以xf故选：C.【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数y=x3−xA． B．C． D．【解题思路】先判断函数的奇偶性，可排除B,D，再判断0<x<1时函数的正负即可得出.【解答过程】设f(x)=x3f(−x)=(−x)所以函数y=fx当0<x<1时，x3<x，则故选：C.【变式2-3】（2020上·广东·高三校联考阶段练习）函数fx=x2sinA．

B．

C．

D．

【解题思路】先判断函数的奇偶性，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.【解答过程】因为f(−x)=−x所以fx又因为fπ故选：D.【题型3函数图象的应用】【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数fx=2axA．−13 B．−23 C．【解题思路】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.【解答过程】由图象知，ax2+bx+c=0所以29a+3b+c=12×4=所以fx所以f(5)=1故选：A.【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数y=fx和y=gx的图象，则不等式

A．−∞,−1∪C．−1,0∪1,+∞【解题思路】数形结合判断各区间函数值的正负即可.【解答过程】由图象可得当fx>0⇒x∈−1,0∪1,+∞，此时需满足当fx<0⇒x∈−∞,−1∪0,1综上所述，x∈0,1故选：D.【变式3-2】（2023上·浙江·高一校联考期末）函数y=ax−bx−c的图像如图所示，可以判断a，b，cA．a<0，b>0，c=0 B．a>0，b>0，c=0C．a<0，b=0，c>0 D．a<0，b=0，c=0【解题思路】分b=0,c>0、b>0,c=0两种情况讨论即可.【解答过程】函数y=ax−b①当b=0,c>0时，y=a当x∈0,c时，y与a同号，当x∈c,+∞时，y与图中信息矛盾；②当b>0,c=0时，y=a由图可得，当x∈b,+∞时，y<0，所以然后可验证当b>0,c=0，a<0时，图中信息都满足，故选：A.【变式3-3】（2023·陕西西安·统考三模）定义域和值域均为−a,a(常数a>0)的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，则方程fgA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由图象可得方程fx=0在−a,a上有三个实数解，结合函数【解答过程】由图(a)可知，方程fx=0在由图(b)可知，函数gx在−a,a上单调递减，且值域为−a,a所以方程fg故选：C.【题型4函数零点所在区间的判断】【例4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数fx=3x+x−6有一个零点x=A．12,1 B．1,32 C．【解题思路】利用零点存在性定理计算即可.【解答过程】由题知fx在R∵f12=3−5.5<0又33−4.52>0，∴f32故选：B.【变式4-1】（2023·海南·模拟预测）函数f(x)=A．(1,e) B．e,e2 C．e2【解题思路】根据零点存在性定理即可计算求解.【解答过程】f(x)=f(1)=3>0,所以零点位于e2故选：C.【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数f(x)=2x+log2A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质可判断a,c小于1，b大于1，再由数形结合判断a,c即可.【解答过程】令g(x)=12x−log2x=0令f(x)=2x+log2x=0，可得即0<a<1；令ℎ(x)=x3+log2x=0，可得即0<c<1，作y=2

由图象可知，a<c，所以a<c<b.故选：D.【变式4-3】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数fx=x2−5,x≤−2xlg(x+2),x>−2，若方程A．−3 B．−2 C．1 D．2【解题思路】根据x的取值范围不同，分别解出f(x)=1根即可得出答案.【解答过程】当x≤−2时，fx=x2−5当x>−2时，fx=xlg(x+2)，其中当f(x)=1时，解得x∈1,2，综上k故选：C.【题型5求函数的零点或零点个数】【例5】（2023·陕西西安·西安校考模拟预测）函数fx=1−lgA．log38 B．2 C．log3【解题思路】根据零点的定义即可求解.【解答过程】令fx=1−lg3x故选：A.【变式5-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=5x−5(x≤1)x2−4x+3(x>1)，则函数A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】设Fx=f(x)−log【解答过程】

设Fx设gx=log又f1=5×1−5=0=g1因为f132=5×所以，F1又f12=5×所以，F1根据零点的存在定理，可知，∃x1∈即x1是函数y=f(x)−因为f3=0，所以，F3又f4=4所以，F4根据零点的存在定理，可知，∃x2∈即x2是函数y=f(x)−结合函数图象以及fx,gx的增长速度可知，当x<x1综上所述，函数y=f(x)−log2x的零点为1，x故选：C.【变式5-2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有fx+2+f2−x=0，当x∈0,2时，fA．10 B．15 C．20 D．21【解题思路】根据条件fx+2+f2−x=0，得到函数fx的周期为T=4，再根据条件得出x∈【解答过程】因为fx+2+f2−x=0，令所以f(4−t)=−f(t)，从而有f(4+t)=−f(−t)，又函数fx是定义在R所以f(4+t)=f(t)，即f(4+x)=f(x)，所以函数fx的周期为T=4令x∈−2,0，则−x∈0,2，又当x∈0,2所以f−x=ln(故fx=lnx,x∈(0,2)0,x=0−ln又当x∈0,2时，由fx=0，得到x=1，当x∈−2,0，由fx又T=4，所以f(−8)=f(−4)=f(0)=f(4)=f(8)=0，f(−9)=f(−5)=f(−1)=f(3)=f(7)=0，f(−7)=f(−3)=f(1)=f(5)=f(9)=0，又由fx+2+f2−x=0，得到所以f(−10)=f(−6)=f(−2)=f2再结合图像知，fx在−10,10故选：D.【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)=f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)=log2(−x)，则函数g(x)=f(x)−2在A．16 B．12 C．10 D．8【解题思路】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合−1≤x<0时，f(x)=log【解答过程】由题意定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R，都有f(1+x)=f(1−x)f(x)图象关于直线x=1对称；且f(1+x)=f(1−x)=−f(x−1)，即f(2+x)=−f(x)，故f(4+x)=−f(2+x)=f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，当0<x≤1，则−1≤−x<0，则f−x故fx当1≤x<2，则−1≤x−2<0，因为f(2+x)=−f(x),∴f(x)=−f(x−2)，则fx当2<x≤3时，则0<x−2<1,由此可作出函数f(x)在(0,

由g(x)=f(x)−2=0可得f(x)=2，由图象可知f(x)的图象与y=2在(0,8)内仅有4个交点，不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为x1由于x=1为图象对称轴，且函数周期为4，故x=5也为函数图象的对称轴，故由图象可知x1,x2关于x=1对称，故x1+x即函数g(x)=f(x)−2在(0,故选：B.【题型6根据函数零点的分布求参数】【例6】（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax2−4x−1a≠0在区间A．−3,0∪0,5 C．−4∪−3,0∪【解题思路】通过分类讨论二次函数的根的个数，结合零点定理即可求出实数a的集合.【解答过程】由题意，在fx=ax函数在区间−1,1内恰有一个零点，∴Δ=当a≠0,Δ>0时,只需f(−1)⋅f(1)<0,即解得：−3<a<5,且a≠0,∴−3<a<0，0<a<5,当a=−3时，fx=−3x当a=5时，fx=5x当a≠0,Δ=0时,即a=−4时,fx符合题意，综上所述,实数a的取值范围为：−4∪[−3,0)∪(0,5]故选：D.【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=3ax−1−2a在区间−1,1上存在零点，则实数a的取值范围是A．(−∞,−1)∪B．1C．−∞,−D．−∞,−【解题思路】函数f(x)=3ax−1−2a为一次函数，只要保证其两端点分别在x轴的两侧，就可以保证其在区间（−1，1）上存在零点，即f1⋅f−1<0，从而得到关于【解答过程】因为函数f(x)=3ax−1−2a为一次函数，要使其在区间（−1，1）上存在零点，要保证其两端点分别在x轴的两侧，所以f即f(1)⋅f(−1)=(3a−1−2a)(−3a−1−2a)<0，解得a<−15或故选：C．【变式6-2】（2023·云南·统考二模）设x1,x2是关于x的方程x2+a−1A．−43,−1 B．−34【解题思路】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围.【解答过程】由题意知，函数f(x)=x若−1<x当x=−1时，x2+a−1当x=1时，x2+a−1当x=2时，x2+a−1综上，实数a的取值范围是(−4故选：A.【变式6-3】（2022·高一课时练习）已知函数f(x)=mx2−3x+1的零点至少有一个大于0，则实数mA．(−∞,2) C．(−∞,9【解题思路】根据解析式，讨论m=0、m≠0结合二次函数性质研究函数的零点情况，判断符合条件的m范围.【解答过程】①当m=0时，由f(x)=0，得x=1②当m≠0时，由Δ=9−4m=0，得m=94，此时f(x)=0由Δ=9−4m>0，得m<94，此时设f(x)=0的两根分别为x1，若0<m<94，则x1+x2=若m<0，则x1+x2=3m综上，m≤94，即实数m的取值范围为故选：B.【题型7根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数fx=3x−1,x<1logA．0,2 B．−2,0C．0,1 D．−1,0【解题思路】转化为fx与y=−m【解答过程】令gx=fx画出fx=3函数gx=fx+m有3个零点，即则−m∈0,1解得m∈−1,0故选：D.【变式7-1】（2023上·四川凉山·高一校联考期末）设函数f(x)=3x−2,x≤27x−1,x>2A．32,73 B．2,73【解题思路】画出fx的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得a【解答过程】画出fx的图象如下图所示，由图可知要使fx=t有3依题意，方程f2令s=fx，则s2−as−a+3=0且0<s1<则Δ=a2所以实数a的取值范围为2,7故选：B.【变式7-2】（2023上·山东滨州·高一校考竞赛）已知函数fx(1)求f4(2)若关于x的方程f2x−2tf【解题思路】（1）利用分段函数的解析式，直接代入即可得解；（2）令u=fx，由已知可得出u=t或u=t+1，作出函数u=fx的图象，分析可知0<t+1<1，求出【解答过程】（1）因为fx所以f4（2）令u=fx由f2x−2tf整理得u−tu−t−1=0，解得u=t或作出函数u=fx因为t≤0，所以u=t≤0，若u=0，则直线u=0与函数u=fx的图象有2直线u=1与函数u=fx的图象有3此时，关于x的方程f2x−所以t<0，则直线u=t+1与函数u=fx的图象有4所以0<t+1<1，则−1<t<0.【变式7-3】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知a>0且a≠1，函数fx(1)若a=e且x∈1e(2)若函数fx有两个零点，求实数a【解题思路】（1）先求出函数的单调区间，进而得出函数的最值；（2）将函数零点转化为方程根的问题，利用分离变量的方法，转化为两个函数图象的交点问题，进而求解结果.【解答过程】（1）当a=e时，函数f故f′当x∈1,e时，f′x<0当x∈1e,1时，f′x所以fx又因为fe=1−e所以fx（2）因为函数fx故fx所以方程lnx即为函数y=lnxx令gx=ln当x∈e,+∞时，g′x<0，故当x∈0,e时，g′x>0如图所示

而ge=1e，所以令ℎx因为ℎ1=−ln所以ℎx=ln又当x→+∞时，gx→0，ℎ所以ℎx=ln所以函数ℎx有两个零点，即当1<a<e1【题型8函数零点的大小与范围问题】【例8】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx=minxx−2a,x2−6ax+8a2+4（a>1），其中minp,q=p,p≤qq,p>q，若方程A．不能确定 B．x1+x2=x【解题思路】先求出fx=−x2+2ax,x≤2ax2−2ax,2a<x≤2a+【解答过程】xx−2a=x当x≤2a时，−x即−x当x>2a时，x2若4ax−8a2−4>0，则x>2a+若4ax−8a2−4≤0，则x≤2a+又2a+1a>2a又fa=a2（极大值），f3a要使fx①当fa>52f3a>②当fa<52f此时2a<x1<2a+1a<x∴x3−3a=3a−x③当fa>52f此时，x1，x2是方程所以x1+x2=2a故选：A．【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数fx=x−5,x>0x2+2x−2,x≤0，若存在f(x1)=f(A．(−1,1) B．(−1,1] C．(0,1] D．[0,1]【解题思路】画出函数fx的图象，可得x1+【解答过程】画出函数fx

设f(x1)=f(根据图可得−3<m≤−2，不妨设y=m与y=x2+2x−2(x≤0)的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1当m=−2时，x3最大，由x3当m接近−3时，x3接近最小，由x3−5=−3即x∴x1故选：C.【变式8-2】（2023·广西·模拟预测）已知函数fx=2ln(1)求m的取值范围；(2)记三个零点为x1,x2,【解题思路】（1）由题意首先对fx（2）构造函数ℎx=fx−f−x【解答过程】（1）函数fx的定义域为−1,+∞f′x=2x+1且x∈−1,0时，f′x>0，x∈0,1，f所以fx在−1,0上单调递增，0,1上单调递减，1,+当x=0时，函数fx取极大值，当x=1时，函数f又f0=m，因为函数有三个零点，且x→+∞,f(x)→+∞，x→−1,f(x)→−∞，所以f1解得0<m<32−2ln2（2）由（1）可知−1<x设ℎx=fx−f−x所以函数ℎx单调递增，所以ℎx>ℎ即fx1>f−x设gx=fx所以函数gx所以gx<g1fx2<f所以x3<2−x又−x1−【变式8-3】（2023下·湖南·高二校联考期末）已知函数f(x)=ax3+bx2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[0,3]，函数F(x)=f(x)−xe−x有三个零点x1，x2，x3【解题思路】（1）分类讨论a>0与a<0（2）观察式子先确定x1=0，再利用转化法与换元法得到2lnt2【解答过程】（1）由f(1)=4a，得3a−b−c=0，又b=−6a，所以c=9a，则f(x)=ax3−6ax2当a>0时，令f′(x)>0，得x<1或x>3；令f'所以f(x)在(−∞,1)和(3,+∞当a<0时，令f′(x)>0，得1<x<3；令f'(x)<0所以f(x)在(−∞,1)与(3,+∞（2）x1因为f(x)=ax由F(x)=0，得ax(x−3)2−xe−x因为x∈[0,3]，所以x1=0，x2，x3是又lna(x−3)2=lne两式相减得2ln令3−x2=t2，3−x3令u=t2t所以t3=2lnut2设g(u)=2(u+1)lnu−4(u−1)，则再设ℎ(u)=lnu+1所以ℎ(u)在(1,+∞)上为增函数，则即g′(u)=2lnu+1从而g(u)>g(1)=2(1+1)ln所以t2+t所以x2+x1．（2018·浙江·高考真题）函数y=2|x|sin2xA． B．C． D．【解题思路】先研究函数的奇偶性，再研究函数在(π【解答过程】令f(x)=2因为x∈R,f(−x)=2|−x|sin因为x∈(π2,故选D.2．（2021·天津·统考高考真题）设a∈R，函数f(x)=cos(2πx−2πa).x<ax2−2(a+1)x+a2+5,A．2,94∪C．2,94∪【解题思路】由x2−2a+1x+a2+5=0【解答过程】∵x2−2由2πx−2πa=π2+kπ,k∈Z由0<k2+（1）x<a时，当−5≤−2a−12<−4时，f当−6≤−2a−12<−5，f当−7≤−2a−12<−6，f（2）当x≥a时，f(x)=xΔ=4当a<2时，Δ<0，fx当a=2时，Δ=0，fx当a>2时，令f(a)=a2−2a(a+1)+a2所以若a>52时，综上，要使f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则应满足74<a≤942<a≤则可解得a的取值范围是2,9故选A.3．（2023·天津·统考高考真题）若函数fx=ax2−2x−x2【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【解答过程】（1）当x2−ax+1≥0时，fx即a−1x−1若a=1时，x=−1若a≠1时，x=1a−1或若方程有一根为x=−1，则1+a+1≥0，即a≥−2若方程有一根为x=1a−1，则1a−12−a×若x=1a−1=−1时，a=0（2）当x2−ax+1<0时，fx即a+1x−1若a=−1时，x=1，显然x2若a≠−1时，x=1或x=1若方程有一根为x=1，则1−a+1<0，即a>2；若方程有一根为x=1a+1，则1a+1若x=1a+1=1时，a=0综上，当a<−2时，零点为1a+1，1当−2≤a<0时，零点为1a−1，−1当a=0时，只有一个零点−1；当0<a<1时，零点为1a−1，−1当a=1时，只有一个零点−1；当1<a≤2时，零点为1a−1，−1当a>2时，零点为1,−1．所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．故答案为：−∞4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=cosωx−1(ω>0)在区间0,2π有且仅有3个零点，则ω【解题思路】令f(x)=0，得cosωx=1【解答过程】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ω令f(x)=cosωx−1=0，则令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ω结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π故答案为：[2,3).5．（2022·天津·统考高考真题）设a∈R，对任意实数x，记fx=minx−2,x2−ax+3a−5．若【解题思路】设gx=x2−ax+3a−5，ℎx=x−2，分析可知函数gx至少有一个零点，可得出【解答过程】设gx=x2−ax+3a−5，ℎ要使得函数fx至少有3个零点，则函数gx至少有一个零点，则解得a≤2或a≥10.①当a=2时，gx=x2−2x+1此时函数fx②当a<2时，设函数gx的两个零点分别为x1、要使得函数fx至少有3个零点，则x所以，a2<−2g③当a=10时，gx=x2−10x+25由图可知，函数fx的零点个数为3④当a>10时，设函数gx的两个零点分别为x3、要使得函数fx至少有3个零点，则x可得a2>2g2=4+a−5≥0综上所述，实数a的取值范围是10,+∞故答案为：10,+∞6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=lg①若k=0，f(x)恰有2个零点；②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点；③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点；④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是①②④．【解题思路】由fx=0可得出lgx=kx+2，考查直线【解答过程】对于①，当k=0时，由fx=lgx−2=0对于②，考查直线y=kx+2与曲线y=−lgx0<x<1对函数y=−lgx求导得y′=−1所以，存在k=−100elg对于③，当直线y=kx+2过点1,0时，k+2=0，解得k=−2，所以，当−100elge<k<−2时，直线若函数fx有三个零点，则直线y=kx+2与曲线y=−直线y=kx+2与曲线y=lgxx>1因此，不存在k<0，使得函数fx对于④，考查直线y=kx+2与曲线y=lgxx>1对函数y=lgx求导得y′=1所以，当0<k<lge100e故答案为：①②④.7．（2018·全国·高考真题）已知函数fx（1）若a=3，求f（2）