2024年上海高考数学复习重难点5解三角形（4种考法）含详解

重难点05解三角形（4种考法）

9【课程安排细目表】

一、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

但一、真题抢先刷，考向提前知

一.正弦定理（共3小题）

1.（2022•上海）已知在△A3。中，NA=―,A8=2,AC=3,则△43。的外接圆半径为

3

2.（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、。是其三条边，a=2,cosC="-.

4

（1）若sinA=2sin8,求〃、ex

（2）若cos（人」^-）=—,求c.

45

3.(2021・上海)在△A8C中，已知〃=3,h=2c.

(1)若A=2^~,求S”BC.

3

(2)若2sinB-sinC=1，求CMBC.

二.余弦定理（共1小题）

4.（2023•上海）已知aABC中，角A,B,。所对的边a=4,b=5,c=6,则sinA=.

=.三角形中的几何计算（共2小题）

5.（2022•上海）如图，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,。为A8中点，曲线CO上任一点到。距离相等,

角/ZMB=/A8C=120°,P,。关于0M对称，MOA.AB,

（I）若点P与点C重合，求NPO8的大小；

（2）P在何位置.求五边形MQAAP而积S的最大值.

6.（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成

夹角为0.行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为（1.025-cos。），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则

9=.

四.解三角形（共1小题）

7.（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为〃、〃、c,其中力=2.

（1）若A+C=120°,a=2c,求边长c：

（2）若A-C=15°,”=&csiM,求△A8C的面积.

但二、考点清单

解三角形

1.已知两角和一边（如A、B、C）,由4+8+C=ir求C,由正弦定理求a、h.

2.已知两边和夹角（如a、b、c）,应用氽弦定理求c边：再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C

=m求另一角.

3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C=TT求C,再由正弦定理或余弦定理

求c边，要注意解可能有多种情况.

4.已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+8+C=n,求角C.

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指

锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中0婷、0K是

视线，是仰角，是俯角.

7.关于三角形面积问题

①SA/U?C==—bhh=(ha、hb>/分别表示a、b、c上的高);

2

②SA48C=2a^sinC=-i^csiIvl=-i^心in8：

-222

③SA^c=2R2sinAsin欣inC.(R为外接圆半径)

®SAABC=-^^-：

4R

@SA^c=Vs(s-a)(s-b)(s-c)»Cs=—(a+.+c)):

2

⑥S"5C=r・s,（，♦为8c内切圆的半径）

在解三角形时,常用定理及公式如下表：

名称公式变形

ARTTC

内角和定理A+8+C=TT与2=--上，24+2B=2n-2C

2222

.2.^2

余弦定理。2=〃2+(2_2bccosAc0y=b+c-a

2bc

户=。2+/-2accosB2.^2.2

cosnB=-a——+c-——-b—

c2=a2+Z>2-2abcosC2ac

2..2「

cos3,+b-c

2ab

正弦定理a=b=c=2Ra=2Rs\nA,b=2Rs\nB,c=

sinAsinBsmC

2/?sinC

R为△ABC的外接圆半径

sin4=-^-.sinZ?=-^-.sinC=-^-

2R2R2R

射影定理acosB+bcoaA=c

acosC+ccosA=b

/?cosC+ccosB=«

@SA=hb="i</Zc2SA

面积公式siii4=———

be

sina[sinag-^sina2023

的值为

sina2sind4--sinQ2022

9.（2023•青浦区校级模拟）在A4BC中,内角A,B,9的对边分别是a,力,c,若a2・户=3A，sinC=2sin8,则

A=.

10.（2023•静安区二模）已知△ABC中，sin/l=3sinCcos8,且AB=2,则△ABC面枳的最大值为.

JT

11.（2023•闵行区校级二模）在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin8=bsin（A-—）.

（1）求4

（2）。是线段2c上的点.若人£）=BZ）=2,CD=3,求△八DC的面积.

二.余弦定理（共7小题）

12.（2023•普陀区校级模拟）在△A8C中,已知sin4：sin&sinC=3：5：7,则△ABC最大角的值是.

222

13.（2023•奉贤区二模）△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,若△ABC的而枳为a+b-c,则。等

4

于.

14.（2023•普陀区二模）设△ABC的三边a,h,。满足a：b：c=7：5：3,且S“8C=15鱼，则此三角形最长的

边长为.

15.（2023•虹口区二模）在△ABC中，已知A8=2,AC=2V7>NA3C=120°,则8C=.

16.（2023•浦东新区校级一模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,4c,面积为S,且4S=Ca+b）2-c2,

则cosC=

（2023•浦东新区校级模拟）已知函数f（x）=sin2f-V3si

（I）求函数y=/（x）的单调递减区间：

（H）在△人8。中，内角八，B,。的对边分别为a,b,c,且满足a2-b2=accosB-Lbu求f（B）的取值范

2

围.

18.（2023•松江区校级模拟）在△ABC中，角A,B,。所对应的边分别为a,b,c,且2cosA=a（&-cosC）,c

=2,。为AC上一点，AD：DC=1：3,则△ABC面积最大时，BD=.

三.三角形中的几何计算（共9小题）

19.（2023•徐汇区校级三模）克罗狄斯•托勒密（Plolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及

如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘枳小于或等于两组对边乘枳之和，当且仅当对角互补时取等号.根

据以上材料，完成下题：如图，半圆。的直径为2,4为直径延长线上的一点，QA=2,8为半圆上一点，以AB

为一边作等边三角形A8C,则当线段。C的长取最大值时，ZAOC=.

20.（2023•浦东新区模拟）在△人8C中，AB=2,D为A3的中点，若BC=DC=J5，则AC的长为

21.（2023•嘉定区模拟）在△48C中，角八、B、C的对边分别是0、〃、c,a2-aMr-c2=0.

⑴求C：

（2）若c=M，△ABC的面积是返，求△ABC的周长.

2

22.（2023•奉贤区校级三模）如图：已知AABC中，ZA=arcsi4边长为1的正方形DEFG为AABC的内接正

1V

方形，则A8+AC的最小值为

23.（2023•徐汇区三模）如图，△A8C中，角A、B、C的时边分别为a、b、c.

（1）若3a-c=3AosC,求角B的大小；

（2）已知b=3、若。为△A8C外接圆劣弧AC上一点，求△AOC周长的最大值.

3

B

7T

24.（2023•闵行区校级一模）在△A8C中，角A、B、。所对的边分别为0、b、c,的平分线交AC

于D,若BD=V§，则”+2c的最小值为

25.（2023•嘉定区校级三模）在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanA+btanB^

V3cosA

（1）求角&

（2）若。是AC边上的点，且人O=3DC=3,ZA=ZABD=Q,求sin9的值.

26,（2023•奉贤区校级模拟）已知函数f（x）=2>/^sinxsin+x）-2cosxsin-x）+1-

（1）求函数/（x）的最值：

（2）设△AHC的内角A,B,C的对边分别为小b,。若/（/）=2,b=2,且2sinB+sinC=J7sinA，求4

ABC的面积.

27.（2023•黄浦区校级三模）在△4BC中，2b香。.=。0$，,8c边中线AM-/?.

V3acosA6

（1）求4的值；

<2）求△4BC的面积.

四.解三角形（共10小题）

—Q—♦

28.(2023•浦东新区校级三模)已知向量2=(si”,—),b=<cosx,-I).

4

(1)当a〃b时，求cos2%-sinZr的值；

(2)设函数/(x)=2(a+b)*b.已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,若a=«,h=2,

sin8=Y^,求/(%)+4cos(2A+—)<Ae[0,2-])的取值范围.

363

29.(2023•金山区二模)在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,己知a=W^，C=45°.

⑴若sinA二加sinB，求c：

(2)若8-A=15°,求△ABC的面枳.

30.(2023•黄浦区二模)在△ABC中，cosA=-—，cosB=--

135

(I)求sinC的值；

(2)若A8=4,求△ABC的周长和面积.

31.(2023•闵行区二模)在△48C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知siM=sin2B,a=4,b=6.

(])求cosB的值；

(2)求△ABC的面积.

32.（2023•松江区二模）在锐角AA8c中，内角4、B、C所对边分别为。、b、c,K2bsinA=V3a.

（1）求角&

（2）求cosA+cosfi+cosC的最大值.

33.（2023•青浦区二模）如图所示，要在两山顶M、N间建一索道，需测昼两山顶M、N间的距离.已知两山的海

拔高度分别是MC=100通米和NB=50、巧米，现选择海平面上•点A为观测点，从A点测得M点的仰角NM4C

=60°,N点的仰角NM3=30°以及NM4N=45°,则MN等于米.

34.（2023•黄浦区校级模拟）在△AHC中，三个内角A、8、C所对的边分别为“"、c,若△A8C的面积,△ABC

〃山、一八acosB+bcosA_„而

a+0-6,--------------------=2cosC»则c—__________________

c

35.(2023•徐汇区二模)已知向量m=(2/§cosr^~,_2sin-^-)»n=(cos"|"，cos-^-)»函数y=f(x)=m・r;

(])设8€[_A,等]且f(G)=V3+L求e的值；

乙乙

(2)在△ABC中，A5=l,f(C)=^3+L且AABC的面积为近，求sirM+sinB的值.

2

jr

36.（2023•徐汇区校级三模）已知△"（?的内角4,8,C所对的边分别为a,b,c,f（）=4cosxsin（x——）

x6

的最大值为/（A）.

（I）求角4：

<2）当〃=2时，求△人BC的面积.

37.（2023•宝山区校级模拟）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的8处和8处和北偏东30°方

向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少04〃，于是选择沿

A-B-C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2加s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时

间，10秒钟完成了清扫任务：

（1）求8、C两处垃圾之间的距离：（精确到0.1）

（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的大小：（用反三用函数表示）

北

B

重难点05解三角形（4种考法）

O【课程安排细目表】

二、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

但一、真题抢先刷，考向提前知

一.正弦定理（共3小题）

I.（2022•上海）己知在△A8C中，ZA=—,人8=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为返］.

3-3.

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果.

TT

【解答】解：在△A8C中，Z4=—,A8=2,AC=3,

3

利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2A8・AC・cosA,整理得BC=47,

所以等_=2口解得/?=母.

sinA3

故答案为：等.

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考杳学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

2.（2021•上海）已知4、B、C为△A8C的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=--.

4

（1）若sinA=2sin8,求〃、c；

（2）若co*（A_"）=—.求。.

45

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解〃的值：利用余弦定理即可求解c的值.

（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA,sinA,sinC的值，进而根据正弦

定理可得c的值.

【解答】解：（1）因为sinA=2sin&可得〃=2氏

又。=2,可得8=1,

a2+b2-c2_22+12-c21,可得c=&.

2ab2X2X14

(2)因为cos(A(cosA+sinA)=—,

425

可得cosA+siii4=4&,

5

又cos2A+sin2A=I，

可解得COS4=7"2,siM=Y2,或siivl=-7%2,cos4=Y2,

10101010

因为cosC=--l,可得sinC=M3$,lanC=-后，可得C为钝角，

_44

若sinA=7迎,cosA=XZ,可得（anA=7,可得tanfi=-tan（A+C）=.tan^+tan^_=------7-^|------<0,

1010tanAtanC-17X（-715）-1

可得8为钝角，这与C为钝角矛盾，合去，

所以$21=坐，由正弦定理/可得。=睦

10sinAsinC2

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基木关系式在解三角形中的应

用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题.

3.（2021•上海）在△ABC中,已知”=3，b=2c.

（1）若A=2^",求SJHC.

3

（2）若2sinB-sinC=1.求CMBC.

【分析】（1）由余弦定理求得从而求得△ABC面积：

（2）由正、余弦定理求得力、c值，从而求得AABC周长.

2222

【解答】解•：（1）由余弦定理得cosA=-工=br_a

22bc4c2

解得

.c1,.._V32_9^3

..5A/IBC——bA-X2c

2csin414

（2）\'b=2c,••・由正弦定理得sin8=2sinC,又一2sin8・sinC=L

AsinC=—.sin5=—,...sinC〈sin&:.C〈B,，C为锐角，

33

•••3。=-'母）2=罕.

由余弦定理得:c2,=a2+b2-2abcosC,又,•Z=3,b=2c,

.•.）=9+4）-8&c,得：3c2-8芯c+9=0,解得：c=。泥土遮.

3

当c=4点的,时,b=8祀+小时，C"BC=3+4点+V5；

33

当c=4"节时,〃=8祀:"时GASC=3+4点-V5.

【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题.

二.余弦定理（共1小题）

4.（2023•上海）已知△A8C中，角A,&。所对的边a=4,b=5,c=6.则siirA=_XZ_.

-4-

【分析】先利用余弦定理求出cosA,再利用同角三角函数间的基本关系求解.

【解答】解：a=4,〃=5,c=6.

b2+c2-a225+36-163

由余弦定理得，cosA=

2bc2X5X6-一1

又Fw(0,n),

/.sinA>0,

sig=Vl-coS2AI。1产=今•

故答案为：巨.

4

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考杳了同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

三.三角形中的几何计算（共2小题）

5.（2022•卜.海）如图，在同一平面匕AD=BC=6,AB=20,。为八8中点，曲线CO上任一点到。距离相等,

角NZX48=NA8C=120°,P,。关于OM对称，MO1.A8；

（1）若点。与点C重合，求NPOB的大小:

（2）P在何位置，求五边形MQ18P面积S的最大值.

【分析】（1）在△08。中，直接利用余弦定理求出OP,再结合正弦定理求解:

（2）利用五边形CQQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质,

找到最大值点，从而解决问题.

【解答】解：（1）点户与点C重合，日题意可得08=10,BC=6,48c=120°,

由余弦定理可得。产=。32+8不-208・3。8S/八3。=36+100-2乂6乂10乂（-A）=|96,

2

所以。，=14,在△（阳。中，由正弦定理得.丁*3-=「By------

sinl20sinZPOB

所以悬=.，解得sinNP08=W^-,

V3sinZPOB14

~2

所以NP08的大小为arcsin宜巨；

14

（2）如图，连结QA,PB,OQ,OP,

♦・•曲线CMD上任意一点到O距离相等,

：.OP=OQ=OM=OC=14,

VP,Q关于OM对称，

••・P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S2QOM=SaoM=a，

则NA0Q=N30尸=Sz^op=-^--a,

则五边形面积S=2（SMOQ+S/、QOM）

=2[J・0Q・0A・sin（T--a）+1・OC・OM・sina】

=196sina+140cosa

=28^74sin（a+（p）»其中tan（p=-y,

当sin（a+（p）=1时，S五边形MQABP取最大值28/^,

五边形面积5的最大值为2$不&

【点评】本题考杳r嗣形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推

理能力、运算能力等，属于中档题.

6.(2023•上海)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地而的高度为4米，坡面与水平面所成

夹角为6.行人每沿着斜坡向上走1/〃消耗的体力为(1.025-cos。)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则

0=arccos-^-.

41―

【分析】先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值

即可.

【解答】解：斜坡的长度为/=—V，

siny

上坡所消耗的总体力)，=—Vx(1.025-cos9)=4.1飞s8,

sin。sinB

函数的导数/—4sin8"sin8-(4.l-4cos8)cos84-4.lcos8

sinfsin&

由)/=0,得4-4.1cos6=0,得cos8="^,8=arccos-^.,

4141

由/(x)>0时cosBV殁，即arcccs丝〈SV%时，函数单调递增，

41412

由/'(x)VO时cos8>殁，即ovevarcc。盘时，函数单调递减，

4141

即9=arccos^.,函数取得最小值，跳此时所消耗的总体力最小.

41

故答案为：0=arccos-^-.

41

【点评】本题主要考查生活的应用问题,求函数的导数.利用导数研究函数的最值是解决本题的关键.是中档题.

四.解三角形(共1小题)

7.(2023•上海)在△ABC中，角4、B、C所对应的边分别为〃、〃、c,其中方=2.

(1)若人+C=120°,a=2c,求边长c：

(2)若A-C=15°,a=V2csinA,求△48C的面积.

【分析】(1)由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求人从C,然后结合锐角三角函数即可求解；

(2)由已知结合正弦定理先求出sinC进而可求C,再由正弦定理求出小结合三角形面积公式可求.

【解答】解：(1)V4+C=120°,且a=2c,

.,.sinA=2sinC=2sin(120"-A)=V3cosA+sirL4,

/.cos.4=0»

••・A=90°,C=30°,3=60°,

*：h=2,

•昭

“3'

(2)a=y/-2csuv\,

则sinA=V2sinCsirL4»

sin>4>0,

.*.sinC=—,

2

-C-15°,

••・c为锐角，

/.C=45°,A=60°,8=75°,

...a=2__8「,

sin600sin75°V2W6

/.a==3^2-V6,

SA?IBC=--X—X2X-^^-=3-^/-3.

22V2W62

【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.

Q二、考点清单

解三角形

1.己知两角和一边（如A、B、C）,由4+8+C=n求C,由正弦定理求a、b.

2.已知两边和夹角（如〃、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C

=n，求另一角.

3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求8,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理

求c边，要注意解可能有多种情况.

4.已知三边4、〃、c,应用余弦定理求A、B,再由八+8+C=TT,求角C.

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指

锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中O£>,OE是

视线，是仰角，是俯角.

7.关于三角形面积问题

①■〃/m（ha、hb、力c分别表示a、b、c上的高）：

222

②加inC=20csin4=」acsin8；

222

③S必BC=2/?2si必sin8sinC.（R为外接圆半径）

④S®c=~^^；

4R

®SMBC=Vs（s-a）（s-b）（s-c）,（.v=—（a+〃+c））：

2

⑥SMBC=r・s,（'为△AHC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：

名称公式变形

内角和定理A+8+C=nA+A=2L-£,2A+^B=^-

2222~~

2C

余弦定理『=■+/-2Zx?cosA

cosA=-----------

2bc

Z?2=n2+c2-2^iccosB2.^2.2

D―a+c-b

cosB-------------

c1=a2+b1-2cibcosC2ac

2..2°2

_a+b-c

cosC=-——-———

2ab

正弦定理a二b二c=2Ra=2Rsin/b/?=2/?sinB,c=

sinAsinBsinC

2/?sinC

R为△ABC的外接圆半径

sin/4=-^-,sinB=-^-,sinC=

2R2R

c

2R

射影定理acosB+bconA=c

acosC+ccosA=b

/x:osC+ccosB=«

r2s4

面积公式①S&=工aha=£bhb=±chcsmA=-----

222be

②Sa=」a/?sinC=」acsin8=」)csirL4sin8=

222

2SA

(§)S^=—ac

4R

,「2S

sinC=-A-----

®5A=Vs(s-a)(s-b)(s-c),(s=—ab

2

(a+b+c))；

⑤(a+b+c)r

2

(厂为△ABC内切圆半径)

Q三、题型方法

一.正弦定理（共U小题）

I.（2023•嘉定区校级三模）在△A3C中，已知戾in2A+asin8=0,则角4H勺大小为—空

3

【分析】由二倍角的正弦公式和正弦定理化简后即可直接求得.

【解答］解：由》sin24+asin8=0得2/?sinAcos4+asinB=0,

由正弦定理得：2dbcosA+ab=0,cosA=--»

2

\'AE（0,n）,r.A=-^-.

故答案为：

3

【点评】本题考查用正弦定理解三角形，属于基础题.

2.（2023•杨浦区二模）△ABC内角A、B、C的对边是a、b、c,若a=3,ZA~—,则.

3—4―

【分析】由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得所求角.

【解答］解：若。=3,b=巫,Z4=—,

3

「A/3

则sinZB=bsinZ-A=———红=亚，

a32

又a>b,可得NA>N8,则/8=三（之舍）.

44

故答案为：—.

4

【点评】本题考查三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

3.（2023•黄浦区模拟）在AABC中，若BC=3,AC=276,B=2A,则8=_arccos2_.

3

【分析】利用正弦定理结合已知可求得cosA,再利用二倍角的余弦公式即可得解.

【解答】解：由正弦定理得里_=_^_

sinAsinB

即，=坐_,

sinAsin2A

所以cos4=Y'，

3

所以cosB=cos2A=2cos2A-1=—,

3

因为OVBVTT,

所以B=arccos"^.

3

故答案为：arccos-1--

【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.

4.（2023♦宝山区二模）已知△ABC的内角人，B,。的对边分别为〃，仇c,已知asin史W=〃sirvl,则8=_工_.

23

【分析】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角;

【解答】解：由题设可知：

利用正弦定理有：qinA•sin-sinB•sinA，

乙

又由AE(0,IT),则siMWO,

则sin-A,=sinB'

口n.九-BB门•BB

即sin5-=cos-z-=2sin-z-cos^->

乙乙乙乙

乂由Be(0,TT),贝Ijcos"I"卉Q

即2siny=b由°<8<口，

解得B

Y3.

故答案为：?.

3

【点评】本题考查三角函数的诱导公式和二倍角公式，考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

5.（2023•松江区模拟〉在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=5,b=7,8=60°,则aABC的

面积为_10\行_.

【分析】利用余弦定理.求出c.然后根据三角形面积公式即得.

【解答】解：•••△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,a=5,b=7,8=60°,

，根据余弦定理可得b2=a2+c2-2«ccosB,

.*.49=25+?-10ccos60",即c2-5c-24=0,

...c=8或c=-3（舍去），

所以8c的面积为-^•acsinB="^_X5X8X率=1皿.

乙乙乙

故答案为：

【点评】本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础期.

6.（2023•普陀区校级模拟）在△48C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知N4=22L,h=2c.

3

（1）求tanB；

（2）求sin（2C+—）.

6

【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化筒可求ian8进而可求8；

（2）由已知结合同角基本关系及二倍半公式可求sin2C,cos2C,然后利用两角和的正弦公式可求.

【解答】解：（1）因为乙4=业匚/）=2c,A+8+C=TT,

3

JT

由正弦定理得sin8=2sinC=2sin（----P）,

3

化简得2sin8=«cosB,

即tan8=四,

2

（2）由ian8=近且8是锐角，

_2

所以立历=退1,sinC=^^-,

714

又NC是锐角，

所以cosC=^近，

14

所以sin2c=2sinCcosC=2XX-=-^-,cos2C=—，

14141414

所以sin(2C+匹)

621421414

【点评】本题主要考查正弦定理，和差角公式,同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题.

7.(2023•浦东新区二模)在△A8C中，角4、8、。的对边分别记为a、b、c,若5acosA=/?cosC+ccos8,则sin24

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