2024年青海省中考题数学试题含解析

青海省2024年初中学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效．2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．1.的相反数是（）A.2024 B. C. D.2.生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（）A. B. C. D.3.如图，一个弯曲管道，，则的度数是（）A. B. C. D.4.计算的结果是（）A.8x B. C. D.5.如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（）A B. C. D.6.如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（）A.4 B.3 C.2 D.17.如图，在中，D是中点，，，则的长是（）A.3 B.6 C. D.8.化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（）A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高B.未加入絮凝剂时，净水率为C.絮凝剂体积每增加，净水率的增加量相等D.加入絮凝剂的体积是时，净水率达到二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）．9.的立方根是__________．10.若式子有意义，则实数x的取值范围是________．11.请你写出一个解集为的一元一次不等式________．12.正十边形一个外角的度数是________．13.如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________．14.如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：________，使△AOB∽△COD．15.如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是________．16.如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火柴棒．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集．20.如图，某种摄像头识别到最远点俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面5m的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，）．21.（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．22.如图，直线经过点C，且，．（1）求证：直线是的切线；（2）若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．23.为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：①操作规范性：②书写准确性：小青：1122231321小海：1223332121操作规范性和书写准确性的得分统计表：项目统计量学生操作规范性书写准确性平均数方差平均数中位数小青418a小海4b2根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的________，比较和的大小________；（2）计算表格中b的值；（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？24.在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线最高点的坐标；（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．25.综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形是平行四边形．证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，∴、分别是和的中位线，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中点四边形是平行四边形．结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．（1）请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形②________（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．原四边形对角线关系中点四边形形状

③________④________结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________青海省2024年初中学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效．2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．1.的相反数是（）A.2024 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：有理数的相反数是2024，故选：A．2.生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．故选：D．3.如图，一个弯曲管道，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．【详解】故选：C4.计算的结果是（）A.8x B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了合并同类项．根据合并同类项法则计算即可．【详解】解：，故选：B．5.如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．【详解】解：令，则，解得：，即点为，则点A关于y轴的对称点是．故选：A．6.如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．【详解】解：过点P作于点E，∵平分，，，∴，故选：C．7.如图，在中，D是的中点，，，则的长是（）A.3 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．【详解】解：∵在中，，D是的中点，∴，∵，∴等边三角形，∴．故选：A．8.化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（）A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高B.未加入絮凝剂时，净水率为C.絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等D.加入絮凝剂的体积是时，净水率达到【答案】D【解析】【分析】本题考查从图像上获取信息，熟练掌握能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误；C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确；故选：D二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）．9.的立方根是__________．【答案】-2【解析】【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故答案为﹣2．【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．10.若式子有意义，则实数x的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可．【详解】解：∵式子有意义∴，解得：．故答案为：．11.请你写出一个解集为的一元一次不等式________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件．【详解】解：解集是的不等式：．故答案为：（答案不唯一）．12.正十边形一个外角的度数是________．【答案】##36度【解析】【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式求解即可．【详解】解：正十边形的一个外角的大小是，故答案为：．13.如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：∵有3条路径，有1条路径树枝上有食物，∴它获得食物的概率是．故答案为：14.如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：________，使△AOB∽△COD．【答案】OB=OD．(答案不唯一)【解析】【分析】AO=OC，有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加OB=OD，即得结论．【详解】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，∴△ABO≌△CDO（SAS）．故答案为：OB=OD．(答案不唯一)【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15.如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是________．【答案】130°【解析】【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠A=180°，又∠A=50°，∴∠BCD=180°-50°=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．16.如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火柴棒．【答案】15【解析】【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，第（2）个图形有根火柴棒，第（3）个图形有根火柴棒，……第（n）个图形有根火柴棒，∴第（7）个图案中有根火柴棒，故答案为：15三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊值的三角函数值、零指数幂和绝对值，根据相关运算法则化简后合并即可．【详解】解：18.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：∵∴∴原式．19.如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1），，（2）或【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题：（1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解；（2）直接观察图象，即可求解．【小问1详解】解：把点代入中，得：，∴点A的坐标为，把点代入中，得：，∴点B的坐标为，把，代入中得：，∴，∴一次函数的解析式为，【小问2详解】解：根据一次函数和反比例函数图象，得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，∴的解集为或．20.如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面5m的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，）．【答案】最远点与最近点之间的距离约是11m【解析】【分析】本题考查解直角三角形．根据题意，先在中求，再在中求，最后求差即可．【详解】解：根据题意得：，∵，，∴，在中∵∴∴在中,，∴∴∴．答：最远点与最近点之间的距离约是11m．21.（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．【答案】（1）或（2）第三边的长是或【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．（1）用因式分解法解即可；（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．【详解】解：（1）或；（2）当两条直角边分别为3和1时，根据勾股定理得，第三边；当一条直角边为1，斜边为3时，根据勾股定理得，第三边为．答：第三边的长是或．22.如图，直线经过点C，且，．（1）求证：直线是的切线；（2）若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．（1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案；（2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵在中，，，∴，又∵是的半径，∴直线是的切线；【小问2详解】解：由（1）知，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，．23.为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：①操作规范性：②书写准确性：小青：1122231321小海：1223332121操作规范性和书写准确性的得分统计表：项目统计量学生操作规范性书写准确性平均数方差平均数中位数小青41.8a小海4b2根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的________，比较和的大小________；（2）计算表格中b的值；（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？【答案】（1）2，（2）（3）详见解析（4）详见解析【解析】【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．（1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；（2）利用加权平均数的求法即可求解；（3）从平均分和方差进行判断即可；（4）合理即可．【小问1详解】解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，中位数为，观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则，故答案为：2，；【小问2详解】解：小海书写准确性的平均数为（分）；【小问3详解】解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥稳定；【小问4详解】解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．24.在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线最高点的坐标；（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．【答案】（1）（2）（3）这棵树的高为2【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可．【小问1详解】解：∵点是抛物线上的一点，把点代入中，得：，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：由（1）得：，∴抛物线最高点对坐标；【小问3详解】解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，∵，，∴，∴，又∵点B是的三等分点，∴，∵，∴，，∴，解得，∴，解得，∴点C的横坐标为1，将代入中，，∴点C的坐标为，∴，∴，答：这棵树的高为2．25.综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形是平行四边形．证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，∴、分别是和的中位线，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中点四边形是平行四边形．结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．（1）请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形②________（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．原四边形对角线关系中点四边形形状

③________④________结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．【答案】（1）①中位线定理（2）证明见解析（3）②矩形（4）证明见解析（5）③且；④正方形【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；（2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；（3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；（4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；（5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.【详解】（1）①中位线定理（2）证明：∵分别是的中点，∴分别是和中位线，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中点四边形是菱形．（3）②矩形故答案：矩形（4）证明∵分别是的中点，∴分别是和的中位线，∴，，，∴．同理可得：．∵∴，∴∴中点四边形是矩形．（5）证明：∵分别是的中点，∴分别是和的中位线，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中点四边形是菱形．∵由（4）可知∴菱形是正方形．故答案为：③且；④正方形．滨州市二〇二四年初中学业水平考试数学试题温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.的绝对值是（）A.2 B. C. D.2.如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）A. B.C. D.3.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）A B.C. D.4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.5.若点在第二象限，那么a的取值范围是（）A B. C. D.6.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（）A.②③ B.①③ C.①② D.①②③7.点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.8.刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（）A. B.C D.第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．10.写出一个比大且比小的整数是___________．11.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________．12.一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为____________．13.如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是______．15.如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为____________．16.如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．（1）的长为____________；（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：____________．三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17.计算：．18.解方程：（1）；（2）．19.欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．（1）写出对应的表达式；（2）化简对应的表达式．20.某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．21.【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在中，若，，则有；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知，若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．小军证明：分别延长至E，F两点，使得……小民证明：∵．∴与均直角三角形、根据勾股定理，得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．22.春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x（元/张）4050售出电影票数量y（张）164124（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？如图1，中，点D，E，F分别在三边上，且满足．23.①求证：四边形为平行四边形；②若，求证：四边形为菱形；24.把一块三角形余料（如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）25.【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）【得出结论】．【基础应用】在中，，，，利用以上结论求的长；【推广证明】进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）．请利用图1证明：．【拓展应用】如图2，四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径．滨州市二〇二四年初中学业水平考试数学试题温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.的绝对值是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：∵，∴的绝对值是，故选：B．2.如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了物体的三视图，根据三棱柱的表面由个三角形，个正方形，个矩形构成即可判断求解，掌握三棱柱的结构特点是解题的关键．【详解】解：∵三棱柱的表面由个三角形，个正方形，个矩形构成，∴其主视图可能是三角形或正方形或矩形，不可能是圆，故选：．3.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：B．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了幂的运算．根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项不符合题意；D、，本选项符合题意；故选：D．5.若点在第二象限，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组．根据点在第二象限可得不等式组，求解即可．【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得：．故选：A．6.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（）A.②③ B.①③ C.①② D.①②③【答案】A【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数、众数．根据平均数、中位数、众数的意义求解即可．【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是，原说法不正确；②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为1.70，原说法正确；③这些运动员成绩出现最多的是1.75，则的众数是1.75，原说法正确．故选：A．7.点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用配方法可得，进而得到反比例函数的图象分布在一、三象限，时，，时，，据此即可求解，利用配方法得到是解题的关键．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象分布在一、三象限，时，，时，，∵，∴，故选：．8.刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，设为切点，连接，则，再结合切线长定理可判定A，再结合三角形的面积可判定B，再由，结合完全平方公式与勾股定理可判断C，通过举反例可得D错误.【详解】解：如图，设为切点，连接，则，，，，由切线长定理得，，，，∵，，∴四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故正确，不合题意；∵，∴，∴∴，故正确，不合题意；∵，，∵，，∵，，故C正确；令，，，，而，，故D错误；故选D【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，勾股定理的应用，分解因式的应用，举反例的应用，切线长定理的应用，掌握基础知识并灵活应用是解本题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．【答案】x≠1【解析】【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】∵分式在实数范围内有意义，∴x−1≠0，解得：x≠1故答案为x≠1．【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义．10.写出一个比大且比小的整数是___________．【答案】2或3【解析】【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可．【详解】∵，∴即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．11.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换和二次函数的性质．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．【详解】解：由抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，∴顶点坐标是故答案为：．12.一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，大小为____________．【答案】75【解析】【分析】本题考查了的平行线的性质，三角形的外角性质．由，推出，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：75．13.如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）【答案】或或【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【详解】解：，∴当时，．当时，．当时，．故答案为：或或．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是______．【答案】60°##60度【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四边形OACD是菱形，∴∠AOC=∠D，由圆周角定理得，∠B=∠AOC，∴∠B+2∠B=180°，解得，∠B=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15.如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为____________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，两点之间线段最短．连接相交于点，根据“两点之间线段最短”知最小，利用待定系数法求得直线和的解析式，联立即可求解．【详解】解：连接相交于点，根据“两点之间线段最短”知最小，设直线的解析式为，则有，解得，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，则有，解得，∴直线的解析式为，联立得，解得，则，∴P点坐标为，故答案为：．16.如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．（1）的长为____________；（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：____________．【答案】①.②.取点，得到正方形，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求．【解析】【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理直接计算即可求解；（2）取点，得到正方形，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求．【详解】（1）故答案为：；（2）取点，则，得到正方形，∴正方形的面积为，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，∵，∴，∴，∴矩形的面积为，如图，矩形，即为所求．．故答案：取点，得到正方形，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求．三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据实数的运算法则和运算律即可求解，掌握据实数的运算法则和运算律是解题的关键．【详解】解：原式，，，．18.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤，准确计算．（1）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解；（2）用因式分解法，解一元二次方程即可．【小问1详解】解：，去括号得：，去括号得：，移项合并同类项得：；【小问2详解】解：，分解因式得：，∴或，解得：，．19.欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．（1）写出对应的表达式；（2）化简对应的表达式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，利用分式的加减法计算是解题的关键．（1）将代入欧拉公式即可；（2）将代入欧拉公式化简计算即可．【小问1详解】解：当时，【小问2详解】．20.某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．【答案】（1）补充条形统计图见解析；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为；（2）估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；（3）甲乙两位同学选择相同课程的概率为：．【解析】【分析】（1）根据选择“E”的人数及比例求出总人数，总人数乘以D占的比例求得“D”的人数，总人数减去其他类别的人数求得“A”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用360度乘以“C”占的比例即为“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）利用样本估计总体思想求解；（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．【小问1详解】解：参与调查的总人数为：（人），“D”的人数（人），“A”的人数（人），“手工制作”对应的扇形圆心角度数，补充条形统计图如图：【小问2详解】解：（人），因此估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；【小问3详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有2种，因此甲乙两位同学选择相同课程的概率为：．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．21.【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在中，若，，则有；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知，若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．小军证明：分别延长至E，F两点，使得……小民证明：∵．∴与均为直角三角形、根据勾股定理，得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解