2024年江苏省宿迁市中考数学试题含解析

2024年江苏省宿迁市中考数学试题含解析数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.6的倒数是（）A. B. C.－6 D.62.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（）A. B. C. D.5.全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（）A.自 B.立 C.科 D.技6.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（）A B.C. D.7.规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A. B. C.且 D.且8.如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.要使有意义，则实数x的取值范围是________．10.因式分解：________．11.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____________________________________．12.点在第______象限．13.一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为________．14.已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°．15.如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________．16.如图，在中，，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________．17.若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________．18.如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为________．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．20.先化简再求值：，其中．21.如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：甲：若连接，则四边形是菱形；乙：若连接，则是直角三角形．请选择一名同学的结论给予证明．22.某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图：某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：（1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________（2）请补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．23.某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．（1）小刚选择线路A的概率为________；（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．24.双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：测量七凤塔高度测量工具测角仪、皮尺等活动形式以小组为单位测量示意图测量步骤及结果如图，步骤如下：①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米；③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．…已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度，（参考数据：）25.如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：是的切线；（2）求的长．26.某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？27.如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．28.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．根据以上操作，得________．【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；（2）如图⑥，连接，过点G作垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）．数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.6的倒数是（）A. B. C.－6 D.6【答案】B【解析】【分析】乘积是1的两个数互为倒数．据此即可获得答案．【详解】解：∵，∴6的倒数是．故选：B．【点睛】本题主要考查了倒数的知识，熟练掌握倒数的定义是解题关键．2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可．【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；B.，该选项正确，符合题意；C.，该选项错误，不符合题意；D.，该选项错误，不符合题意．故选：B．3.地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：384000用科学记数法表示为．故选：B．4.如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，再根据邻补角求出结果即可．【详解】解：∵，，∴，∴．故选：C．5.全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（）A.自 B.立 C.科 D.技【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，故选：C．6.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．【详解】解：设绳长x尺，列方程为，故选A．7.规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.【详解】解：∵，∴，即，∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，且，解得且，故选：D．8.如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：∴，∴，∵点A在双曲线上，点B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，轴，∴，∵，∴，∴∴∴，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.要使有意义，则实数x的取值范围是________．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵二次根式要有意义，∴，∴，故答案为；．10.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】直接提出公因式，即可解答．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．11.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____________________________________．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行12.点在第______象限．【答案】四【解析】【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点的横坐标，纵坐标，点在第四象限．故答案为：四．13.一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为________．【答案】12【解析】【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数得计算公式．根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可．【详解】解：一组数据6，8，10，的平均数是9，，解得．故答案为：12．14.已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°．【答案】【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题．【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，侧面展开扇形的面积为：，解得，故答案为：．15.如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案．【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，∴，故答案为：．16.如图，在中，，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________．【答案】##10度【解析】【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：因为，所以，根据题意得：平分，所以，因为AD为高，所以，所以,所以，故答案为：．17.若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________．【答案】【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．【详解】解：把代入，得：，∵，∴，即：，，得：，∵方程组有解，∴，∴，把代入①，得：，解得：；∴方程组的解集为：；故答案为：．18.如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，点A的坐标为，，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，当轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，由对称性质可知，，作于点，有，设，则，，，解得，经检验是方程的解，，，，，，，，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．【详解】．20.先化简再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．【详解】解：，当时，原式．21.如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：甲：若连接，则四边形是菱形；乙：若连接，则是直角三角形．请选择一名同学的结论给予证明．【答案】见解析【解析】【分析】选择甲：由，是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、DE，DE交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得AC⊥DE，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证．【详解】证明：选择甲：如图1，∵，是的中点．∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；选择乙：如图，连接、DE，DE交于，∵，是的中点．∴，∵，∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；∴AC⊥DE，∴，∵四边形是平行四边形，∴∴，∴是直角三角形．【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键．22.某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图：某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：（1）本次调查样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________（2）请补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．【答案】（1）200；36（2）见解析（3）460人【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体：（1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解；（2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解；（3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解．【小问1详解】解：本次调查的样本容量是；扇形统计图中C对应圆心角的度数为；故答案为：200；36【小问2详解】解：最喜欢“B足球”学生人数为人，补全条形统计图，如图：【小问3详解】解：人，即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人．23.某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．（1）小刚选择线路A的概率为________；（2）请用画树状图或列表方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数．（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比；（2）根据列表法即可求得概率．【小问1详解】解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同．小刚选择线路A的概率为；故答案为：【小问2详解】解：依题意，列表可得小刚\小红ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种，小刚和小红选择同一线路的概率为．24.双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：测量七凤塔高度测量工具测角仪、皮尺等活动形式以小组为单位测量示意图测量步骤及结果如图，步骤如下：①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米；③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．…已知测角仪高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度，（参考数据：）【答案】73.2米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：由题意得，米，米，，，在中，，，在中，，，米，，解得，（米，答：塔的高度为73.2米．25.如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：是的切线；（2）求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【小问1详解】证明：连接，

，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：是直径，是弦，且，，，，，，，，，，，．26.某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？【答案】（1）纪念品A、B的单价分别是元和元（2）A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；（2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可．【小问1详解】解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元，，解得：x=30，经检验x=30是原方程的解，∴B种纪念品的单价为元，答：纪念品A、B的单价分别是元和元．【小问2详解】解：设A种纪念品购进件，总费用为元，则，又∵，解得，∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少，这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少．27.如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）是定值，．【解析】【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；（2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案；（3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值．【小问1详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，∴，解得，∴，∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，∴即【小问2详解】解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，则解得，∴直线的解析式为，联立与得到，解得，则【小问3详解】解：由（1）可得，，与联立得到，，解得，此时∴点C的坐标为，∵点M的横坐标为m，且在上，∴即点M的坐标为设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，则解得，∴直线的解析式为，与联立得到，，整理得到，则，即，即，即为定值．28.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．根据以上操作，得________．【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）．【答案】[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究]【解析】【分析】[操作判断]根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；[探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此；[深入研究]连接，先证明，则，由，设，则，而，则，可得，，，那么，故．【详解】[操作判断]解：如图，由题意得，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案为：45；[探究证明]解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，，∵是对角线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．2024年江苏省无锡市数学中考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．）1.4的倒数是（）A. B. C.2 D.2.在函数中，自变量的取值范围是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.4.一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，345.下列图形是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B.直角三角形C.平行四边形 D.正五边形6.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.7.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（）A. B. C. D.9.如图，在菱形中，，是中点，则的值为（）A. B. C. D.10.已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：①是函数的“1级关联范围”；②不是函数的“2级关联范围”；③函数总存在“3级关联范围”；④函数不存在“4级关联范围”．其中正确的为（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．12.在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______．13.正十二边形的内角和等于______度．14.命题“若，则”______命题．（填“真”或“假”）15.某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______．16.在中，，，，分别是的中点，则的周长为______．17.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______．18.如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时，______；在点运动的过程中，关于的函数表达式为______．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19.计算：（1）；（2）．20.（1）解方程：；（2）解不等式组：21.如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：（1）；（2）．22.一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23.“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．【确定调查方式】（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本③随机抽取100个麦穗的长度作为样本【整理分析数据】（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：试验田100个麦穗长度频率分布表长度频率0.040.450300.09合计1根据以上图表信息，解答下列问题：①频率分布表中的______；②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）【作出合理估计】（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．24.如图，在中，．（1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）25.某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：A型劳动用品（件）B型劳动用品（件）合计金额（元）第一次20251150第二次1020800（1）求两种型号劳动用品的单价；（2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）26.如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．（1）求证：；（2）求的度数．27.【操作观察】如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．解决问题】（1）当点与点重合时，求的长；（2）设直线与直线相交于点，当时，求的长．28.已知二次函数图象经过点和点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；（3）点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2024年江苏省无锡市中考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．）1.4的倒数是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可．【详解】解：4的倒数是，故选：A．2.在函数中，自变量的取值范围是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.【答案】D【解析】【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可.【详解】根据二次根式有意义的条件，得：，解得，，故选：D【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．【详解】解：，，，检验，当时，，∴是原分式方程的解，故选：A．4.一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，34【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可．【详解】解：这组数据的平均数是：，这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37，∵一共有5个数据，∴中位数为第3位数，即35，故选：C．5.下列图形是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B.直角三角形C.平行四边形 D.正五边形【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次进行判断即可得．【详解】解：A、等边三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；B、直角三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；C、平行四边形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；D、正五边形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．6.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长．【详解】解：，故选：B．7.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．【详解】解：设经过天相遇，可列方程为：，故选：A．8.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．【详解】解：由旋转的性质可得出，∵，∴，∴，∴，故选：B．9.如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答．【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，∵四边形是菱形，∴，，∴，设，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．10.已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：①是函数的“1级关联范围”；②不是函数的“2级关联范围”；③函数总存在“3级关联范围”；④函数不存在“4级关联范围”．其中正确的为（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．【详解】解：①当时，，当时，，∵，∴y随x的增大而减小，∴在时，，即，∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；②当时，，当时，，∵对称轴为y轴，，∴当时，y随x的增大而增大，∴在时，，即，∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；③∵，∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．设当，则，当函数存在“3级关联范围”时，整理得：，∵，，∴总存在，∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；④函数的对称轴为，∵，∴当时，y随x的增大而增大，设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，解得：，∴是函数的“4级关联范围”，∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案：（x+3）（x-3）.12.在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．【详解】解：数据45000用科学记数法表示，故答案为：．13.正十二边形的内角和等于______度．【答案】##1800度【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟悉相关性质是解题的关键．根据多边形的内角和公式进行计算即可．【详解】解：，∴正十二边形的内角和等于．故答案为：．14.命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．【详解】解：∵∴，∴若，则是假命题，故答案为：假．15.某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．【详解】解：根据题意有：，故答案为：（答案不唯一）16.在中，，，，分别是的中点，则的周长为______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理得出，即可解答．【详解】解：∵，，，分别是的中点，∴，∴的周长，故答案为：9．17.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______．【答案】2或3【解析】【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．【详解】解：∵，∴，设平移后点A、B的对应点分别为，∴，∵两点恰好都落在函数的图象上，∴把代入得：，解得：或．故答案为：2或3．18.如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时，______；在点运动的过程中，关于的函数表达式为______．【答案】①.2②.【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出关于的函数表达式．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴；∵，∴，即，整理得：，设，∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵，∴，即，整理得：，故答案为：2，．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．20.（1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组．（1）先移项，再用直接开平方法即可求解；（2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集．【详解】（1）解：，，或，解得：．（2）解：，由①可得：，由②可得：，∴原不等式组的解集为．21.如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．（1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证；（2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴小问2详解】证明：∵，∴，∴．22.一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式，即可解答；（2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答．【小问1详解】解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球，∴摸到白球的概率，故答案为：；【小问2详解】解：根据题意列出表格如下：

白红绿白（白，白）（白，红）（白，绿）红（红，白）（红，红）（红，绿）绿（绿，白）（绿，红）（绿，绿）由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种，∴2次摸到的球颜色不同的概率．23.“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．【确定调查方式】（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本③随机抽取100个麦穗的长度作为样本【整理分析数据】（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：试验田100个麦穗长度频率分布表长度频率0.040.450.300.09合计1根据以上图表信息，解答下列问题：①频率分布表中的______；②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）【作出合理估计】（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解（3）【解析】【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．（1）根据抽样调查的特点回答即可．（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图（3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解．【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，故答案为：③（2）①频率分布表中的，故答案为：0.12，②麦穗长度频率分布在之间的频数有：，频数分布直方图补全如下：（3），故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为．24.如图，在中，．（1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求．（2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．【小问1详解】解：如下图：即为所求．【小问2详解】过点D作交与点E，过点D作交与点F，则，又∵∴四边形为矩形，∵是的平分线，∴，∴四边形为正方形，∴，设，∴，，在中，，在中，，∵∴∴解得：，∴．【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．25.某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：A型劳动用品（件）B型劳动用品（件）合计金额（元）第一次20251150第二次1020800（1）求两种型号劳动用品的单价；（2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要