2024年河南省中考数学试题含解析

2024年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，数轴上点P表示的数是（）A. B.0 C.1 D.22.据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（）A. B. C. D.4.信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A. B.C. D.5.下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（）A. B. C. D.6.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）A. B.1 C. D.27.计算的结果是（）A. B. C. D.8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A. B. C. D.9.如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（）A B. C. D.10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A.当时， B.Q随I的增大而增大C.I每增加1A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出的一个同类项：_______．12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分．13.若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________．15.如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）化简：．17.为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁表现更好．18.如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．（3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．19.如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形是菱形20.如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．（1）请仅就图2情形证明．（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．21.为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？22.从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23.综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．2024年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，数轴上点P表示的数是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P表示的数为，故选：A．2.据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题的关键．用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：5784亿．故选：C．3.如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，，，∴，故选：B．4.信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可．从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；故选A．5.下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意，可得，A、此不等式组无解，符合题意；B、此不等式组解集为，不符合题意；C、此不等式组解集为，不符合题意；D、此不等式组解集为，不符合题意；故选：A6.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：B．7.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．【详解】解：，故选D8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．故选∶D．9.如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．【详解】解∶过D作于E，∵是边长为的等边三角形的外接圆，∴，，，∴，∵点D是的中点，∴，∴，∴，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A.当时， B.Q随I的增大而增大C.I每增加1A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出的一个同类项：_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：的一个同类项为，故答案为：12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分．【答案】9【解析】【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．根据众数概念求解即可．【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．故答案为：9．13.若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．【答案】##【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，则四边形是矩形，∴，，，∵折叠，∴，，∵点A的坐标为，点F的坐标为，∴，，∴，在中，，∴，解得，∴，，在中，，∴，解得，∴，∴点E的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．15.如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：∵，，∴，∵线段绕点C在平面内旋转，，∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，∵，∴，∴点E在以为直径的圆上，在中，，∵为定值，∴当最大时，最大，最小时，最小，∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：则，∴，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值为；当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：则，∴，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值为；故答案为：；．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：（1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；（2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．17.为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．【答案】（1）甲29（2）甲（3）乙队员表现更好【解析】【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶（1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可；（3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可．【小问1详解】解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，∴得分更稳定的队员是甲，乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，∴中位数为，故答案为∶乙，29；【小问2详解】解∶因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好；【小问3详解】解∶甲的综合得分为，乙的综合得分为，∵，∴乙队员表现更好．18.如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．（3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解即可；（2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．【小问1详解】解：反比例函数的图象经过点，∴，∴，∴这个反比例函数的表达式为；【小问2详解】解：当时，，当时，，当时，，∴反比例函数图象经过，，，画图如下：【小问3详解】解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上，∴平移后点E对应点的纵坐标为4，当时，，解得，∴平移距离为．故答案为：．19.如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形是菱形【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（1）根据作一个角等于已知角方法作图即可；（2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证．【小问1详解】解：如图，

；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵在中，是斜边上的中线，∴，∴平行四边形是菱形．20.如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明．（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．【答案】（1）见解析（2）塑像的高约为【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．【小问1详解】证明：如图，连接．则．∵，∴．【小问2详解】解：在中，，．∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．答：塑像的高约为．21.为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包（2）选用A种食品3包，B种食品4包【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得解方程组，得答：选用A种食品4包，B种食品2包．【小问2详解】解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据题意，得．∴．设总热量为，则．∵，∴w随a的增大而减小．∴当时，w最小．∴．答：选用A种食品3包，B种食品4包．22.从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）小明说法不正确，理由见解析【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.【小问1详解】解：，∴当时，h最大，故答案为：；【小问2详解】解：根据题意，得当时，，∴，∴（负值舍去）；【小问3详解】解：小明的说法不正确．理由如下：由（2），得，当时，，解方程，得，，∴两次间隔的时间为，∴小明的说法不正确．23.综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．（1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．（3）拓展应用如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．【答案】（1）②④（2）①．理由见解析；②（3）或【解析】【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；（2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论；②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可；（3）分，，，四种情况讨论即可．【小问1详解】解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，故答案为：②④；【小问2详解】解：①，理由：延长至点E，使，连接，∵四边形是邻等对补四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；②过A作于F，∵，∴，∵，∴，在中，，∴；【小问3详解】解：∵，，，∴，∵四边形是邻等对补四边形，∴，∴，当时，如图，连接，过N作于H，∴，在中，在中，∴，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；当时，如图，连接，∵，∴，∴，故不符合题意，舍去；当时，连接，过N作于H，∵，，∴，∴，即，解得，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；当时，如图，连接，∵，∴，∴，故不符合题意，舍去；综上，的长为或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．2024大庆数学一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.下列各组数中，互为相反数的是（）A.和 B.2024和C.和2024 D.和2.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列常见几何体中，主视图和左视图不同的是（）A. B.C. D.5.“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（）A. B. C. D.6.下列说法正确的是()A.若，则B.一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等D.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形7.如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（）A.纸带①、②的边线都平行B.纸带①、②的边线都不平行C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行8.在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（）A. B.C. D.9.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（）A.小庆选出四个数字的方差等于 B.小铁选出四个数字的方差等于C.小娜选出四个数字的平均数等于 D.小萌选出四个数字的极差等于10.如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（）A.15 B. C. D.18二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．11.计算：=___．12.已知，则的值是___________．13.如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球体积为，圆柱形盒子的容积为，则______．（球体体积公式：，其中r为球体半径）14.请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式_____．15.不等式组的整数解有______个．16.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______．17.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为______．18.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______．①函数是“倍值函数”；②函数的图象上的“倍值点”是和；③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．三、解答题：本题10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程．19.求值：．20.先化简，再求值：，其中．21.为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．22.如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）23.根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：

平均数中位数众数第1小组3.94a第2小组b3.55第3小组3.25c3请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应圆心角为______度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2）______，______，______；（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？24.如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的面积．25.“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．（1），_____；（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；（3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？26.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D是边中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．27.如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，．求的值．28.如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．（1）求二次函数的表达式；（2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；（3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

（1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．（3）拓展应用如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．

2024大庆数学一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.下列各组数中，互为相反数的是（）A.和 B.2024和C.和2024 D.和【答案】A【解析】【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意；B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意；C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；D、和不互为相反数，故D选项不符合题意；故选：A．2.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为，故选：C．3.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．中心对称图形的关键是确定对称中心，绕对称中心旋转能与自身重合，掌握以上知识是解题的关键．4.下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．故选：B．5.“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下：由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有种，∴这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为，故选：D．6.下列说法正确的是()A.若，则B.一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服价格不变C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等D.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问题，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：A.若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；B.设原价为元，则提价%后的售价为：元；后又降价的售价为：元．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格相当于原价的，故该选项不正确，不符合题意；C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意；D.设这个多边形的边数为，∴由题意得：，，，即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意；故选：D．7.如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（）A.纸带①、②的边线都平行B.纸带①、②的边线都不平行C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行【答案】D【解析】【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断．【详解】解：对于纸带①，∵，∴，∴，由折叠的性质得，，∴，∴与不平行，对于纸带②，由折叠的性质得，，，又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，∴，，∴，，∴，∴，综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，故选：D．【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键．8.在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，故选：C．9.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（）A.小庆选出四个数字的方差等于 B.小铁选出四个数字的方差等于C.小娜选出四个数字的平均数等于 D.小萌选出四个数字的极差等于【答案】A【解析】【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．【详解】解：A、假设选出的数据没有，则选出的数据为，，，时，方差最大，此时，方差为；当数据为，，，时，，，故该选项符合题意；B、当该同学选出的四个数字为，，，时，，，故该选项不符合题意；C、当该同学选出的四个数字为，，，时，，故该选项不符合题意；D、当选出的数据为，，，或，，，时，极差也是，故该选项不符合题意；故选：A．10.如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（）A.15 B. C. D.18【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解．【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为，∵矩形，∴，∴，∴四边形和都是矩形，∴，由旋转的性质得，，∴，∴，∴，∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，∵，，∴，故选：B．二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．11.计算：=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，∴，故答案为：-212.已知，则的值是___________．【答案】3【解析】【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．13.如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为，圆柱形盒子的容积为，则______．（球体体积公式：，其中r为球体半径）【答案】【解析】【分析】题考查了圆柱的体积和球的体积，根据圆柱的体积和球的体积公式计算即可得出答案．【详解】解：设球的半径为，则圆柱的高为，依题意，，∴，故答案为：．14.请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经过点的一次函数即可．【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为，代入得：，，∴满足题意的一次函数的解析式为．故答案为：（答案不唯一）．15.不等式组的整数解有______个．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：，∴整数解有，，，共4个，故答案为：．16.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案．【详解】解：曲边三角形的周长为，为等边三角形，曲边三角形的面积为：故答案为：．17.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为______．【答案】48【解析】【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．【详解】解：图①中，∵，根据勾股定理得，，∴图①中所有正方形面积和为：，图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，⋯∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为，∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为，故答案为：48．18.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______．①函数是“倍值函数”；②函数的图象上的“倍值点”是和；③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．【答案】①③④【解析】【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误；②函数中，令，则，解得或，经检验或都是原方程的解，故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确；③在中，令，则，整理得，∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，∴且，解得且，故③说法错误；④在中，令，则，整理得，∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，∴，整理得，∴对称轴为，此时n的最小值为，根据题意分类讨论，，解得；，无解；，解得或（舍去），综上，k的值为0或，故④说法错误；故答案为：①③④．三、解答题：本题10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程．19.求值：．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简即可得出答案．【详解】解：．20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当时，原式．21.为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价元/度【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，，解得：，经检验是原方程的解，答：该市谷时电价元/度．22.如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）【答案】米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，∴四边形是矩形，∴，，依题意，，∴，∴，∴；在中，，；中，，∴．答：大桥的长度约为米．23.根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：

平均数中位数众数第1小组3.94a第2小组b3.55第3小组3.25c3请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2）______，______，______；（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？【答案】（1）①18；②（2）5；；3（3）估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分．【解析】【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；（2）根据众数、平均数和中位数的定义即可求解；（3）利用样本估计总体即可求解．【小问1详解】解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为，故答案为：18；②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），补全第1小组得分条形统计图如下，；【小问2详解】解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，第2小组的平均分为（分），则，第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则，故答案为：5；；3；【小问3详解】解：（人），答：估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分．【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图，中位数、众数和平均数，样本估计总体．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24.如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形；（2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵分别是、的平分线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，作于点，在中，，，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．25.“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．（1），_____；（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；（3）求在试销售