高考数学模拟大题规范训练(27)含答案及解析

高三数学大题规范训练（27）15.如图，三棱锥中，，，，D是棱AB的中点，点E在棱AC上.（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小.16.如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.（1）求椭圆C方程；（2）P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.17.在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”.接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名.然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名.最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立.（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.18.设函数().（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，，求a取值范围.19.已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立.（1）证明无穷数列等比数列，并求；（2）若，，求证：；（3）当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式.

高三数学大题规范训练（27）15.如图，三棱锥中，，，，D是棱AB的中点，点E在棱AC上.（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小.【答案】（1）答案见解答（2）【解答】【分析】（1）若选择①②，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择①③，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择②③，则只需证明⊥平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式即可求解.【小问1详解】选择①②，可证明③.由，是线段的中点，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，AC平面ABC，得⊥，又⊥；，平面，所以⊥平面．因为平面，所以，若选择①③，可证明②.由，是线段的中点，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，平面，得，又⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以．选择②③，可证明①.由，是线段的中点，得⊥因为⊥，⊥，平面，，所以⊥平面．PD平面PDE，得⊥，,平面，所以⊥平面．又平面，故平面⊥平面.【小问2详解】方法一：由（1），选择①②，则③成立.取线段的中点F，连接，则由，及是线段的中点，得⊥.由（1）知，⊥平面，以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系三棱锥的体积，且，，得，得所以由，是线段的中点，⊥，得：.所以，，，.设面与面的法向量分别为，，则，得：，所以面的一个法向量为.，得：，所以面的一个法向量为.设平面与平面所成二面角为，则，因为，所以面与面所成二面角的大小为．方法二：延长交的延长线于Q，连接，则平面与平面.由三棱锥的体积为，且，，得，解得又由，及是线段的中点，⊥，在等腰直角三角形中，，，连结CD，在中，，，，在等腰直角三角形中，，，在中，，在中，由，所以，又由（1）知，⊥平面，是在面内射影，由三垂线逆定理得：，则即为二面角的平面角，，所以面与面所成二面角的大小为.16.如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.【答案】（1）（2）【解答】分析】（1）方法一：由题意得，，把点直接代入椭圆方程求出即可；方法二：把代入求出即可；（2），而的面积为定值，所以只要的面积最大，进一步分析得知，只需求的最大值，方法一：用判别式法求最值；方法二：利用基本不等式求最值，结合取最值的取等条件即可求解.【小问1详解】设，又离心率，则.，则.法一：则C：，点代入得，法二：则，点代入得，所以C方程为：.【小问2详解】因为，而的面积为定值，所以只要的面积最大.设，则①.，，则线段AM长度为定值.由图知，P在直线的上方，直线：，P到直线的距离为只需求的最大值.法一：设，代入得：，因为，得.当时，联立①，解得：，.法二：因为.所以，当且仅当时，.所以当四边形的面积最大时，此时点P坐标为().17.在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”.接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名.然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名.最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立.（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.【答案】（1）①；②（2）答案见解答【解答】【分析】（1）①甲获得第四名，需要在甲参与的两场比赛中都失败，结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；②明确随机变量所有可能取值，然后结合对立事件概率和独立事件概率公式分别求出对应的概率，即可求得分布列和期望；（2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利.【小问1详解】①记“甲获得第四名”为事件，又，则；②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，则的所有可能取值为2，3，4，连败两局：，可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；，；则的分布列如下：2340.160.5520.288所以数学期望.小问2详解】在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜，则甲获得冠军的概率为.(ii)在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”，设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”，则；设事件B为“甲比赛四场：胜负（胜区败）胜（赢败区胜）胜（决赛区胜）”，则；设事件C为“甲比赛四场：负胜（败区胜）胜（赢胜区败）胜（决赛区胜）”，则；所以.由，且，当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；当时，两种赛制甲夺冠的概率一样.18.设函数().（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，，求a的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解答（3）【解答】【分析】（1）只需分别求出即可；（2）求导得，根据是否大于0对进行分类讨论即可求解；（3）分离参变量转换为恒成立问题，构造函数，只需求得的最小值即可得解.【小问1详解】当时，，则，则，又，故在处的切线方程为.【小问2详解】因为，则，若，即时，恒成立，故在R上单调递增；若，即或时，.+0─0+↗↘↗则在和上为增函数；在上为递减函数.【小问3详解】因为时，，即，当时，上式成立，也即当时，恒成立，记，则.记，则，则在为减函数，则，即恒成立，则单调减，为增函数，，则，所以的取值范围为.19.已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立.（1）证明无穷数列为等比数列，并求；（2）若，，求证：；（3）当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解答，（2）证明见解答（3）（）【解答】【分析】（1）由并结合已知条件，得出数列的两项的商为定值，从而可知为等比数列，由于其各项均为正整数，所以公比亦为正整数，从而得到；（2）写出数列的通项公式，得出，结合导函数求出函数的单调性，再结合累加法对数计算求和即可.（3）结合（2）得出集合中元素满足的不等式，将中元素的个数转化为关于的不等式的解的数目，先确定的取值，再由放缩法确定i的取值，从而确定解的个数，得到的通项公式．【小问1详解】当时，，，两式相减得：，，，所以数列等比数列．因为无穷数列的