高考数学模拟大题规范训练(23)含答案及解析

高三数学大题规范训练（23）15.如图，在三棱锥中，，分别是线段的中点，，，，，．（1）求证：平面；（2）求二面角正弦值．16.记是等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.17.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．18.已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明；（3）当时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系．19.在平面直角坐标系中，已知两定点，，M平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．（1）求动点M的轨迹；（2）设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

高三数学大题规范训练（23）15.如图，在三棱锥中，，分别是线段的中点，，，，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）利用中位线知识得到，然后使用线面垂直的判定定理；（2）直接使用空间向量求解.【小问1详解】由于是的中点，，故.而分别是的中点，故且，而，所以.由，知，而，故.而，在平面内交于点，故平面.【小问2详解】已证，平面，故可以原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，且由知.设，分别是平面和的一个法向量，则由可知.故可取，，得.所以二面角的正弦值是.16.记是等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.【答案】（1）（2）证明见解答【解答】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程组，解之即可得解；（2）由（1）求得，再利用累乘法求得，从而利用及与的关系式的性质即可得证.【小问1详解】因为是等差数列，设其公差为，则由，得，解得，所以数列通项公式为.【小问2详解】数列的前项和，则，所以，因为，所以，则；因为，当增大，则减少，所以时，取得最大值为，所以最大为；综上，.17.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．【答案】（1）;（2）.【解答】【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数，利用二项分布的概率概率公式求即可；（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.【小问1详解】由题设，能卖出3件水牛奶的概率为，3件以下的概率为，所以三天中卖出3件水牛奶的天数，则.【小问2详解】由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A={销售0件}或B={销售1件}，所以，，令C={第二天货架上有1件存货}，则，，所以.第一天营业结束后补货的情况为D={销售3件}或E={销售2件}，所以，，令F={第二天货架上有1件存货}，则，，所以.综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.18.已知函数，．（1）当时，求函数最小值；（2）是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明；（3）当时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系．【答案】（1）1（2）答案见解答，证明见解答（3）存在，证明见解答【解答】【分析】（1）代入，再对求导，并研究其单调性，可得答案；（2）利用等差中项建立等式，结合等比中项以及对数运算律化简等式，根据分类讨论思想，可得答案；（3）先分析的单调性，结合零点存在定理得到，再构造函数，利用导数研究其单调性，建立关于的不等式，整理可即可得解.【小问1详解】当时，，，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以．【小问2详解】要证，，依次成等差数列，只需证，整理可得，由依次成等比数列，则，所以①当时，上式显然成立；②当时，则，整理可得，由依次成等比数列可得，则，代入得：与题意矛盾，故此时不存在；综上：当时，存在满足要题意的；当时，不存在满足要题意的.【小问3详解】因为，，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又当时，恒成立，当趋于0时，趋于无穷小；当趋于无穷大时，趋于无穷小；所以在上各有一个零点，不妨设，则，．设函数，则，，所以在上单调递增，故当时，，即，当时，，即，所以，，所以，整理可得：，即，所以．【小结】方法小结：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.19.在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．（1）求动点M的轨迹；（2）设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．【答案】（1）（2）在定直线y＝8（x≠0）上．【解答】【详解】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故动点M的轨迹为．（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．设，，，则，，，由此知．将y＝kx＋1代入，得，于是，．①条件即，也即．将，代入得．