高考数学模拟大题规范训练(17)含答案及解析

高三数学大题规范训练（17）15.如图，已知多面体均垂直于平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．16.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，令，求证：．17.已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．18.现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.19.数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．（1）求；（2）当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．

高三数学大题规范训练（17）15.如图，已知多面体均垂直于平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）.【解答】【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由得，所以，即有.由，得，由得，由，得，所以，即有，又，因此平面.［方法二］：向量法如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此,由得；由得，所以平面.（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.［方法二］：向量法设直线与平面所成的角为.由(I)可知,设平面的法向量.由即，可取，所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线与平面所成角为，点到平面距离为d（下同）．因为平面，所以点C到平面的距离等于点到平面的距离．由条件易得，点C到平面的距离等于点C到直线的距离，而点C到直线的距离为，所以．故．［方法四］：定义法+等积法设直线与平面所成的角为，由条件易得，所以，因此．于是得，易得．由得，解得．故．［方法五］：三正弦定理的应用设直线与平面所成的角为，易知二面角的平面角为，易得，所以由三正弦定理得．［方法六］：三余弦定理的应用设直线与平面所成的角为，如图2，过点C作，垂足为G，易得平面，所以可看作平面的一个法向量．结合三余弦定理得．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段至E，使得．联结，易得，所以与平面所成角等于直线与平面所成角．过点C作，垂足为G，联结，易得平面，因此为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角．易得，，因此．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长交于点E，易知，又，所以，故面．设点到平面的距离为h，由得，解得．又，设直线与平面所成角为，所以．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．16.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，令，求证：．【答案】（1）（2）证明见解答【解答】【分析】（1）设等差数列an的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列an的通项公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出bn的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列an的首项为，公差为．由，得，解得：，所以．【小问2详解】由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．17.已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在定点【解答】【分析】（1）由相关点代入法求轨迹方程即可；（2）先由特殊位置确定定点在轴上，设定点，由相切求出切点满足的关系式，再由垂直的坐标条件求解.【小问1详解】设，则，由题意线垂直于轴，与交于两点，知，过点且平行于轴的直线方程为：，直线的方程为：，令，得，即，由得，因为在抛物线上，即，则，化简得，由题意知不重合，故，所以曲线的方程为【小问2详解】由（1）知曲线的方程为，点在直线上运动，当点在特殊位置时，两个切点关于轴对称，故要使得，则点在轴上．故设，曲线的方程为，求导得，所以切线的斜率，直线的方程为，又点在直线上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，，当时，恒成立，所以存在定点，使得恒成立．18.现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解答；【解答】【分析】（1）根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解；（2）利用全概率公式求得从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率，再利用二项分布的概率公式与数学期望公式即可得解.【小问1详解】设“抽的产品是优秀等级”，“产品是从甲工厂生产”，“产品是从乙工厂生产”，“产品是从丙工厂生产”，则，，则，则所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为.【小问2详解】依题意，设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为，则，由题意可知，则，则的分布列为：012345678910故19.数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．（1）求；（2）当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．【答案】（1）（2），答案见解答（3），证明见解答【解答】【分析】（1）用模取余法可求结论；（2）由，，可求；从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论；（3）取时，分别求得，，，；可得当（）时，，进而利用数学归纳法证明即可．【小问1详解】因为，所以．【小问2详解】因为，且，所以，故．当时，递推关系式的实际意义：当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为．如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，也就是说原环序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的．需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过．如新环序号对应的是原环中的，…，新环序号对应的是原环中的．也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即．【小问3详解】由题设可知，由（2）知：；；；