高考数学模拟大题规范训练(16)含答案及解析

高三数学大题规范训练（16）15.已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若恒成立，求实数λ的取值范围．16.某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．③泊松分布表（局部）表中列出了的值（如：时，…0.50.60.7…0…06065310.5488120.496585…1…0.3032650.3292870.347610…2…0.0758160.0987860.121663…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…00000130.0000360.000081…7…0.00000100000030.000008…17.已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．18.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值．19.若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”（1）若，判断是否为上“4类函数”；（2）若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；（3）若为上的“2类函数”且，证明：，，.

高三数学大题规范训练（16）15.已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．【小问1详解】设数列的公差为d，则根据题意可得，解得，则．【小问2详解】由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，又恒成立，则恒成立，设，则，当时，，即；当时，，则，则；则，故，故实数λ的取值范围为．16.某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．③泊松分布表（局部）表中列出了的值（如：时，…0.50.60.7…0…0.6065310.5488120.496585…1…0.3032650.3292870.347610…2…0.0758160.0987860.121663…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…0.0000130.0000360.000081…7…0.0000010.0000030.000008…【答案】（1）分布列见解答，（2）0.019757【解答】【分析】（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到ξ的分布列，再结合期望公式求解；（2）依题，此时二项分布可近似看成泊松分布，再利用泊松分布的概率公式求解．【小问1详解】解：（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以ξ的分布列为：ξ012P所以ξ的期望为；【小问2详解】依题题意，得，则，所以，因为，所以，于是，所以时的概率估计值为．17.已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）取的中点为，连结，，先证四边形是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）结合余弦定理与勾股定理可证，利用面面垂直的性质定理知平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．【小问1详解】证明：取的中点为，连结，因为为中点，则，且，因为，，，所以所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面;【小问2详解】在中，，所以，在中，，即，因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为，则，令，得，，所以，易知平面的一个法向量为，设二面角为，由图知为钝角，所以，所以，故二面角的正弦值为．18.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）由已知结合向量线性运算的坐标表示即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线的斜率关系即可求解．【小问1详解】解：设，因为，所以，由得，，将，代入得，，所以动点P的轨迹C的方程为；【小问2详解】由（1）知，联立得，，由韦达定理得，，于是，从而，因为，，则，，，所以．19.若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”（1）若，判断是否为上的“4类函数”；（2）若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；（3）若为上的“2类函数”且，证明：，，.【答案】（1）是（2）（3）证明见解答【解答】【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；（2）由已知条件转化为对于任意，都有，对函数求导后进行分离参数，利用导函数研究函数的单调性和最值即可；（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.【小问1详解】函数是上的“4类函数”，理由如下：不妨设，所以，，所以是上的“4类函数”；小问2详解】，，由题意知，对于任意不同都有，不妨设，则，故且，所以为上的增函数，为上的减函数，所以对任意的，即，由，令，则，，令得在上单调递增，，由，令，只需，，令得在单调递增，所以，综上所