高考数学模拟大题规范训练(6)含答案及解析

高三数学大题规范训练（6）15.在三角形中，角所对的边分别为已知.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若且，求的取值范围.16.如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）．（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求．17.学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．18.已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．（1）若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；（2）若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．19.已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为an的“生成数列”．（1）若，求其生成数列的前项和；（2）设数列的“生成数列”为，求证：；（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．

高三数学大题规范训练（6）15.在三角形中，角所对的边分别为已知.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若且，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解答】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角；（2）由正弦定理可得，将转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围.【详解】解：（1）由正弦定理，，即由余弦定理，，又（2）因为且，由正弦定理得，，【小结】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题.16.如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）．（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求．【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）由已知可证得平面，进而可证得，通过证出，证得平面，即可证得结果；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．【小问1详解】分别为的中点，．平面平面，平面，，是二面角的平面角，．，为等边三角形，．平面，平面，又平面，.【小问2详解】设中点为，由（1）知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，，设平面的法向量为n=x,y,z即，取，则，设，，设与平面所成的角为，则，解得或（舍）.17.学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．【答案】（1）分布列见解答，（分）（2）【解答】【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为，再根据导出求出函数的单调区间，即可得出答案.【小问1详解】解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；小问2详解】解：设一天得分不低于3分为事件，则，则恰有3天每天得分不低于3分的概率，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值.18.已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．（1）若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；（2）若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根据题意可得，得到双曲线的标准方程，然后利用直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，即可求解；（2）依题意，，设，联立结合韦达定理，得到切线方程，然后根据两条切线方程联立，结合构造函数求解三角形面积最值即可．【小问1详解】因为的长轴长为8，短轴长为4，所以，，联立方程，得，又与有唯一的公共点，所以，即，的横坐标为，把代入中，，所以，过且与垂直的直线为，则，所以，，又，所以，即，所以的轨迹方程为．【小问2详解】因为的长轴长为4，短轴长为2，所以，，左焦点，当斜率为0时，分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点，当斜率不为0时，设，由得，设，则，，椭圆在轴上方对应方程为，则点处切线斜率为，点处切线方程为，即，同理可得点处的切线方程为，由得，代入①得，所以，所以，而，所以，即，又，所以．令，则，令，则，所以在上单调递增，则当时，．所以面积的最小值为.【小结】关键点小结：本题主要考查了直线与双曲线及椭圆的位置关系，利用直线和圆锥曲线联立，根据交点情况（1）中，（2）中，（2）中的关键是结合韦达定理，表示出切线方程，再联立切线方程，构造函数求解三角形面积最值.19.已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为an的“生成数列”．（1）若，求其生成数列的前项和；（2）设数列“生成数列”为，求证：；（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．【答案】（1）（2）证明见解答（3）证明见解答【解答】【分析】（1）利用指数函数的性质判断数列的单调性，从而得出{pn}的通项，由分组求和法及等比数列的前n项和公式进行求解即可；（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义进行证明即可；（3）根据等差数列的定义分类讨论进行证明即可．【小问1详解】因为关于单调递增，所以，，于是，的前项和．【小问2详解】由题意可知，，所以，因此，即是单调递增数列，且，由“生成数列”的定义可得．【小问3详解】若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列．当是一个常数列，则其公差必等于0，，则，因此是常数列，也即为等差数列；当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，，所以要么，要么，又