2025高考数学二轮复习-专题4 立体几何-第1讲 空间几何体的结构、表面积与体积【课件】

第1讲空间几何体的结构、表面积与体积专题四2025内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.空间几何体的表面积与体积公式

球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍

名师点析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(S',S分别为上、下底面面积,h为高)易错警示正四面体一定是正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.关键能力•学案突破突破点一空间几何体的结构特征B[例1-2]如图,有一圆柱形的开口容器(下底面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC的中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为

.

名师点析几何体的表面展开及其应用(1)圆锥、圆柱的侧面展开图分别为扇形和矩形,圆锥、圆柱的底面周长分别为扇形的弧长、矩形的一边长,根据此建立圆锥、圆柱基本量的联系解决问题.(2)解决多面体或旋转体的表面上与长度有关的最值问题时,一般采用转化法,即将表面展开化为平面图形,通过“化折为直”或“化曲为直”来解决,注意展开前后哪些几何量发生变化,哪些不变.对点练1(1)021·山东淄博二模)已知圆台的上、下底面面积分别为4,16,则过该圆台的母线的中点,且平行于底面的平面截该圆台,所得截面的面积为(

)A.10 B.8

C.9

D.8C(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点,当A1M+MC取最小值时,B1M的长为(

)D突破点二空间几何体的表面积[例2-1]国家游泳中心(水立方/冰立方)的设计灵感来源于威尔-弗兰泡沫,威尔-弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每个顶点处有1个正方形和2个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体的表面积是(

)C[例2-2]已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等,若圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(

)C解析

设圆锥和圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l.因为圆锥的轴截面是等边三角形,所以l=2r,方法总结求几何体表面积的方法(1)对于简单几何体,常根据其结构特征求表面积,有公式的可直接利用公式求解.(2)对于组合体,先弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组成形式,再求组合体的表面积.对点练2(1)(2024·河北统考模拟)柷(zhù),是一种古代打击乐器,迄今已有四千多年的历史,柷的上方形状犹如四方形木斗,上宽下窄,下方有一底座,用椎(木棒)撞击其内壁发声,表示乐曲将开始.如图,某柷(含底座)高60cm,上口正方形边长70cm,下口正方形边长54cm,底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4cm,高为16cm的正四棱柱,则该柷(含底座)的侧面积约为(

≈2.236)(

)A.12960cm2 B.14803cm2C.16800cm2 D.18240cm2B解析

如图,正四棱台中,连接AC,A1C1,过点A,C分别作AE⊥A1C1,CF⊥A1C1,交A1C1于点E,F,依题意AB=54

cm,A1B1=70

cm,AE=CF=60-16=44

cm,又正四棱柱的侧面积S2=4×(54+4)×16=3

712

cm2,所以该柷(含底座)的侧面积约为11

090.56+3

712=14

802.56≈14

803

cm2.故选B.(2)(2024·四川成都高三期末)交通锥,又称锥形交通路标,如图1,常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆,以保证工程人员及道路使用者的人身安全等.某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究,发现将该交通锥筒放倒在地面上,如图2,使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动,当这个交通锥筒首次转回到原位置时,交通锥筒本身恰好滚动了3周.若将该交通锥筒近似看成圆锥,将地面近似看成平面,测得该圆锥的底面半径为

cm,则该圆锥的侧面积为

cm2.(交通锥筒的厚度忽略不计).1350π图1图2解析

设圆锥的母线长为l,则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l,周长为2πl.突破点三空间几何体的体积B[例3-2](2022·新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3C解析

由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5

m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5

m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故该棱台的体积≈1.4×109(m3),即增加的水量约为1.4×109

m3.故选C.方法总结求几何体体积的基本方法(1)直接法:对于规则的几何体,可利用相关公式直接计算.(2)割补法:对于不规则的几何体,可将其分割成规则的几何体,进行体积计算;也可把不规则的几何体补成规则的几何体,进行体积计算.(3)转换法:主要用于求三棱锥(四面体)的体积,将三棱锥的顶点和底面进行转换,使其底面的面积可求(或容易求),高可求(或容易求),从而代入公式求得体积.对点练3(1)(2024·广西壮族自治区模拟)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征.一个圆台的侧面展开图如图所示(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,且∠ABC=120°,则该圆台的体积为(

)DB解析

如图,将三棱锥P-AMN看作三棱锥A-PMN,即以A为顶点,△PMN为底面的三棱锥,将三棱锥P-ABC看作三棱锥A-PBC,即以A为顶点,△PBC为底面的三棱锥.突破点四球的表面积与体积B[例4-2](2024·江苏徐州沛县湖西中学模拟)在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一个球的表面上,则该球的体积是(

)A方法总结1.掌握球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.2.用一个平面截球所得截面的特征:(1)用一个平面去截球,截面是圆面.(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r的关系是对点练4(1)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC