2019届江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值讲义理苏教版

§2.2函数的单调性与最值基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.函数的单调性(1)单调函数的定义知识梳理

增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有

，那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数当x1<x2时，都有

，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是

或

，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.单调增函数单调减函数2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有__________对于任意的x∈A，都有__________结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)知识拓展函数单调性的常用结论(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.(

)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)(3)函数y＝

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)(4)所有的单调函数都有最值.(

)××××(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.(

)(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(

)×√考点自测1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是____.(填序号)①y＝

；

②y＝2x－1；③y＝1－x；

④y＝(2x－1)2.①y＝

在(0，2)上为减函数；②y＝2x－1在(0，2)上为增函数；③y＝1－x在(0，2)上为减函数；④y＝(2x－1)2在(－∞，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数.②答案解析2.(教材改编)函数y＝

的单调增区间为__________；单调减区间为__________.当x≥0时，y＝x为增函数；当x<0时，y＝x2为减函数.答案解析[0，＋∞)(－∞，0)几何画板展示3.(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围为__________.函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.由图象可知函数f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，由[1，2]⊆[a，＋∞)，可得a≤1.答案解析(－∞，1]4.(2016·盐城模拟)函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为__________.函数的对称轴为x＝－1，又x>0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).答案解析(0，＋∞)几何画板展示5.(教材改编)已知函数f(x)＝

，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为_____，最小值为____.答案解析2题型分类深度剖析题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1

(1)(2016·连云港模拟)函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间是____________.因为y＝

t，t>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).答案解析(－∞，－2)(2)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为___________________.由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数.答案解析(－∞，－1]，[0，1]命题点2解析式含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝(a>0)，用定义法判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性.解答设－1<x1<x2<1，∵－1<x1<x2<1，又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1，1)上为减函数.几何画板展示引申探究如何用导数法求解例2？解答∵a>0，∴f′(x)<0在(－1，1)上恒成立，故函数f(x)在(－1，1)上为减函数.确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.思维升华跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝

，则该函数的单调递增区间为__________.设t＝x2－2x－3，则t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞).答案解析[3，＋∞)(2)已知函数f(x)＝ln

x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间.解答(导数法)依题意知f(x)的定义域为(0，＋∞).当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.题型二函数的最值例3

(1)函数f(x)＝

的最大值为______.当x≥1时，函数f(x)＝

为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案解析2又x∈[1，＋∞)，解答几何画板展示②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.f(x)＝x＋

＋2，x∈[1，＋∞).(ⅰ)当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数.最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，所以－3<a≤0.(ⅱ)当0<a≤1时，f′(x)＝1－

，即f(x)在[1，＋∞)上为增函数，即a＋3>0，a>－3，所以0<a≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，解答因为x∈[1，＋∞)，所以f′(x)≥0，所以f(x)min＝f(1)＝a＋3，a的取值范围是(－3，1].求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.思维升华跟踪训练2(1)函数y＝x＋

的最小值为______.易知函数y＝x＋

在[1，＋∞)上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.(本题也可用换元法求解)答案解析1(2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为_____.答案解析8方法一(基本不等式法)令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去).当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1，4)上是递减的；当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上是递增的，所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例4已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f()，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________.根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，答案解析b>a>c命题点2解函数不等式例5

(2017·苏州月考)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且

f()＝0，则

满足>0的x的集合为___________________.答案解析命题点3求参数范围例6

(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_________.当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－

，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，答案解析几何画板展示答案解析由已知条件得f(x)为增函数，几何画板展示函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.思维升华(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练3(1)(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝x(ex－)，若f(x1)<f(x2)，则下面正确的式子为_____.①x1>x2；

②x1＋x2＝0；③x1<x2；

④f(－x)＝－x(－ex)＝f(x)，答案解析④∴f(x)在R上为偶函数，∴当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)，∴|x1|<|x2|，(2)(2016·宿迁模拟)要使函数y＝

与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是____________.由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上是增函数.因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.答案解析(－∞，－4)典例(14分)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.思维点拨

解抽象函数不等式答题模板系列1规范解答答题模板(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [3分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

[5分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数. [7分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，

[9分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，

[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3，2). [14分]返回解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.返回课时作业12345678910111213141.(2016·南京模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是______.①y＝－x＋1；

②y＝

；③y＝－(x－1)2；

④y＝31－x.①中，函数在(1，＋∞)上为减函数，③中，函数在(1，＋∞)上为减函数，④中，函数在(1，＋∞)上为减函数.答案解析②2.函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是________.当x≥2时，f(x)为增函数，当x<2时，(－∞，1]是函数f(x)的增区间；[1，2]是函数f(x)的减区间.答案解析[1，2]12345678910111213143.定义新运算

：当a≥b时，a

b＝a；当a<b时，a

b＝b2，则函数f(x)＝(1

x)x－(2

x)，x∈[－2，2]的最大值等于____.由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案解析612345678910111213144.已知f(x)＝

是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是________.答案解析[4，8)1234567891011121314*5.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：答案解析1234567891011121314由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.12345678910111213146.已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是__________.要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1.答案解析[1，＋∞)12345678910111213147.函数f(x)＝

x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为____.由于y＝

x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.答案解析312345678910111213148.(2017·江苏天一中学月考)对a，b∈R，记max{a，b}＝

函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是____.答案解析123456789101112131412345678910111213149.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝_____.答案解析－61234567891011121314*10.已知f(x)＝

不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是____________.(－∞，－2)答案解析1234567891011121314二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，即2x<a，∴2x<a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)<a，∴a<－2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2).123456789101112131411.(2016·江苏新海中学期中)已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2(a＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a的值为____.答案解析∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，∴a＝±1＜2(舍去).123456789101112131412.(2016·江苏泰州中学月考)已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝_____.二次函数y＝x2－2x－t图象的对称轴为x＝1，函数y＝|x2－2x－t|的图象是将二次函数y＝x2－2x－t的图象在x轴下方的部分翻到x轴上方(x轴上方部分不变)得到的.由区间[0，3]上的最