2024年沪科版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2•a3ak为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”；则在区间[1，2010]内所有的“和谐数”的和为（）

A.2048

B.4096

C.2026

D.4083

2、若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°3、计算的值（）4、线性回归直线方程表示的直线必经过（）A.点B.点C.点D.点5、【题文】在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（）A.B.C.D.6、【题文】下图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是()A.在区间(－2,1)上是增函数B.在区间(1,3)上是减函数C.在区间(4,5)上是增函数D.当时，取极大值7、设集合则等于（）A.B.C.D.或8、十进制数25对应的二进制数是（）A.11001B.10011C.10101D.100019、在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、已知圆的方程为设该圆中过点的最长弦和最短弦分别为和则四边形的面积是___________11、【题文】在二面角中，且若则二面角的余弦值为________________。12、【题文】已知幂函数过点则不等式的解集为__________.13、【题文】已知球的表面积为是球面上的三点，点是的中点，则二面角的大小为____.14、函数在R上的最大值为____15、已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)16、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．17、作出函数y=的图象．18、请画出如图几何体的三视图．

19、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、计算题(共2题，共10分)21、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．22、已知x=，y=，则x6+y6=____．评卷人得分五、证明题(共3题，共24分)23、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．24、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．25、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分六、解答题(共2题，共6分)26、设（），（）是函数的图象上的任意两点．（1）当时，求+的值；（2）设其中求（3）对应（2）中已知其中设为数列的前项和，求证27、【题文】如图，边长为2的菱形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点

（1）求证:

（2）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

an=logn+1（n+2）；

∴由a1•a2ak为整数得1•log23•log34log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数；

设log2（k+2）=m，则k+2=2m；

∴k=2m-2；因为211=2048＞2010；

∴区间[1，2010]内所有和谐数为：22-2，23-2，24-2，，210-2；

其和M=22-2+23-2+24-2++210-2=2026．

故选C．

【解析】【答案】利用an=logn+1（n+2），化简a1•a2•a3ak，得k=2m-2；给m依次取值，可得区间[1，2010]内所有和谐数，然后求和．

2、A【分析】试题分析：由斜率公式得因此倾斜角考点：倾斜角与斜率的关系.【解析】【答案】A.3、A【分析】【解析】

因为选A【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】

因为为回归方程，利用和联立，消去则必定过样本中心点，即为【解析】【答案】C5、B【分析】【解析】

试题分析：要求点A到平面A1BC的距离，可以求三棱锥VA-A1BC底面A1BC上的高，由三棱锥的体积相等，容易求得高，即是点到平面的距离。解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥VA1-ABC的体积为，VA1-ABC=VA-A1BC即S△ABC•AA1=S△A1BC•h，∴••1=•2•h，h=

故答案为：B

考点：点到平面的距离。

点评：本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得．“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法【解析】【答案】B6、C【分析】【解析】因为导函数在（4，5）上函数值为正，所以为增函数。A错在导函数在（-2，1）的函数值有正有负，原函数不具有单调性，B道理一样，D是极小值。【解析】【答案】C7、D【分析】【分析】因为集合MN=所以由补集的定义，借助于数轴得，=选D。8、A【分析】【解答】解：25÷2=121

12÷2=60

6÷2=30

3÷2=11

1÷2=01

故25（10）=11001（2）故选A．

【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．9、C【分析】解：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得=

故选C．

根据题意，由两个向量的减法的几何意义可得=．

本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于容易题．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】【解析】试题分析：圆的方程为化为圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．所以考点：直线和圆的方程的应用【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意画出图形：在平面β内；过A作AE∥BD，过点D作DE∥l，交AE于点E，连接CE．

∵BD⊥l；∴AE⊥l，∴ED⊥平面CAE．

又AC⊥l；∴∠CAE或其补角是二面角α-l-β的平面角．

由矩形ABDE得EA=2；ED=1．

在Rt△CED中，由勾股定理得CE==2．

∴△ACE是等边三角形；

∴∠CAE=60°；

∴cos∠CAE=．

考点：二面角的求法.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：设幂函数为∵幂函数过点∴∴∴∴由得0<1，∴不等式的解集为

考点：本题考查了幂函数的概念及分式不等式的解法。

点评：熟练掌握常见幂函数的概念及分式不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、1【分析】【解答】解：1）当x=0时，f（x）=0；2）当x≠0时，═

令t∈R，原函数化为g（t）=又因为t+或为t+原函数的最大值为1．

故答案：1．

【分析】当x≠0时，═令t∈R，原函数化为g（t）=可得原函数的最大值．．15、略

【分析】解：由扇形的面积公式得：S=lR；

因为扇形的半径长为2cm，面积为8cm2

所以扇形的弧长l=8．

设扇形的圆心角的弧度数为α；

由扇形的弧长公式得：l=|α|R；且R=2

所以扇形的圆心角的弧度数是4．

故答案为4．

扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为s，由面积公式和弧长公式可得到关于l和r的方程；进而得到答案．

本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，是基本运算的考查，属于基础题．【解析】4三、作图题(共5题，共10分)16、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．17、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可18、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．19、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、计算题(共2题，共10分)21、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．22、略

【分析】【分析】根据完全立法和公式将所求的代数式转化为x6+y6=（x2+y2）3-3x2y2（x2+y2）；然后将已知条件代入并求值即可．【解析】【解答】解：∵x=，y=；

∴x6+y6

=（x2+y2）3-3x2y2（x2+y2）

=（5-+5+）3-3×（5-）（5+）（5-+5+）

=103-3×20×10

=400；

故答案是：400．五、证明题(共3题，共24分)23、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=24、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．25、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△AC