2025年外研版高三数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、下列函数求导运算正确的个数为（）

①（3x）′=3xlog3e；②（log2x）′=；③（ex）′=ex；④（x•ex）′=ex+1．A.1B.2C.3D.42、设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A.[-1，1]B.[-，]C.[-，]D.[-，]3、如图所示的程序框图中，若ai=i2，则输出的结果是（）A.5B.6C.7D.84、设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A.（，）B.（，）C.（3，）D.（-3，）5、在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A.36个B.24个C.18个D.6个评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ、DE，且DJ⊆DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=e-x（x-1）（x＞0）；g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：

①当x＜0时，g（x）=e-x（1-x）；

②函数g（x）有3个零点；

③g（x）＞0的解集为（-1；0）∪（1，+∞）；

④∀x1，x2∈R，都有|g（x1）-g（x2）|＜2．

其中所有正确命题的序号是____．7、已知与是非零向量，且（+）⊥（-），（+2）⊥（2-），则3+4与2+的夹角为____．8、排一张4个独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是____（结果用最简分数表示）．9、平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M取自△ABE内部的概率为____．10、已知，那么cos2x=____．11、【题文】已知则值为____12、【题文】已知实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是．评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)13、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．14、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、空集没有子集．____．18、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共4题，共40分)19、已知α、β为锐角：sinαcosβ+cosαsinβ=sin2α+sin2β，求证：α+β=．20、（2015•西安模拟）如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．

（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；

（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．21、已知：二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n（n∈N*）．

（1）求：f（x）的解析式；

（2）若数列{an}满足=f'（），且a1=4，求：数列{an}的通项公式；

（3）对于（2）中的数列{an}，求证：①＜5；②≤＜2．22、设f（x）=x2+mx+n；f（-1）=-1．

（Ⅰ）求证：方程f（x）=0有两个不相等的实根；

（Ⅱ）若f（0）•f（1）＜0；求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，求证：．评卷人得分五、简答题(共1题，共4分)23、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．【解析】【解答】解：①（3x）′=3xln3；故①错误；

②（log2x）′=；故②正确；

③（ex）′=ex；故③正确；

④（x•ex）′=ex+x•ex．故错误．

故正确的个数有2个；

故选：B．2、A【分析】【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解析】【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N；使得∠OMN=45°；

则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，

而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值；

此时MN=1；

图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1；

∴x0的取值范围是[-1；1]．

故选：A．3、D【分析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．【解析】【解答】解：根据题意；本程序框图中循环体为“直到型“循环结构。

第1次循环：S=0+12=1；i=2；

第2次循环：S=12+22=5；i=3；

第3次循环：S=12+22+32=14；i=4；

第4次循环：S=12+22+32+42=30；i=5；

第5次循环：S=12+22+32+42+52=55；i=6；

第6次循环：S=12+22+32+42+52+62=91；i=7；

第7次循环：S=12+22+32+42+52+62+72=140；i=8；

第8次循环：S=12+22+32+42+52+62+72＞100；

跳出循环；输出i=8．

故选D．4、A【分析】【分析】先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标．【解析】【解答】解：∵点P对应的复数为-3+3i，则点P的直角坐标为（-3，3），点P到原点的距离r=3；

且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为（，）；

故选A．5、B【分析】试题分析：各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所有可能的情况有：考点：排列与组合【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】【分析】设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断【解析】【解答】解：由题意得，x＞0时，g（x）=f（x）=e-x（x-1），

当x＜0时，则-x＞0，g（-x）=f（-x）=ex（-x-1）=-g（x），所以g（x）=ex（x+1）；

故①不正确；

对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=ex（x+2）；令其等于0，解得x=-2；

且当x∈（-∞；-2）上导数小于0，函数单调递减；

当x∈（-2；+∞）上导数大于0，函数单调递增；

x=-2处为极小值点；且g（-2）＞-1，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．

又因为奇函数的图象关于原点中心对称；故函数f（x）的图象应如图所示：

由图象可知：函数f（x）有3个零点；故②③正确；

由于函数-1＜g（x）＜1，故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）-g（x1）|＜2恒成立；

即④正确．

故答案为：②③④．7、略

【分析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质求得||=||，=0，设3+4与2+的夹角为θ，求得（3+4）•（2+）、|3+4|、|2+|的值，再由cosθ=的值求得θ的值．【解析】【解答】解：由（+）⊥（-），（+2）⊥（2-），可得（+）•（-）=a2-b2=0，（+2）•（2-）=2+3-2=0；

化简可得||=||，=0．

设3+4与2+的夹角为θ，∵（3+4）•（2+）=6a2+4=10；

|3+4|==5||，|2+|==||；

∴cosθ===，∴θ=arccos；

故答案为：arccos．8、略

【分析】【分析】求出排一张4个独唱和4个合唱的节目表的所有结果，采用插空法求出合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的所有结果，利用概率公式可得结论．【解析】【解答】解：排一张4个独唱和4个合唱的节目表，共有种结果．

合唱节目不排头；且任何两个合唱节目不相邻，需要采用插空法．

先排列4个合唱，共有种结果，在4个节目形成的空中，不合唱不在排头，共有种结结果；

所以所求概率为=．

故答案为：．9、略

【分析】【分析】可知所求的概率为△ABE的面积与行四边形ABCD的面积之比，进而可得答案．【解析】【解答】解：如图

在平行四边形ABCD内部随机取一点M；则总的基本事件对应的区域为平行四边形ABCD；

要使点M取自△ABE内部；则所含的基本事件对应的区域为△ABE；

故所求的概率P===；（其中h为四边形AB边上的高）

故答案为：10、【分析】【分析】将已知等式左边的角度外边的2利用乘法分配律乘到括号里边，然后利用诱导公式化简求出cosx的值，再将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cosx的值代入计算，即可求出值．【解析】【解答】解：∵sin2（+）=sin（+x）=cosx=；

∴cos2x=2cos2x-1=2×（）2-1=-．

故答案为：-11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：作出可行域，如图可行域为内部(含边界)，作直线向上平移直线在减少，因此当过点时，取得最大值为．

考点：线性规划．【解析】【答案】三、判断题(共6题，共12分)13、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．14、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．18、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共4题，共40分)19、略

【分析】【分析】由已知可得sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）=0；分类讨论：

①若α+β＞，则α＞-β；可得sinα-cosβ＞0，sinβ-cosα＞0，既有sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）＞0，不合题意；

②若α+β＜，则α＜-β；可得sinα-cosβ＜0，sinβ-cosα＜0，既有sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）＜0，不合题意；

从而可得α+β=．【解析】【解答】证明：∵α、β为锐角，sin2α+sin2β=sinαcosβ+cosαsinβ；

∴整理得；sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）=0；

①若α+β＞，则α＞-β，所以sinα＞sin（-β）=cosβ；同理，sinβ＞cosα；

因此；sinα-cosβ＞0，sinβ-cosα＞0；

故sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）＞0；不合题意；

②若α+β＜，则α＜-β，所以sinα＜sin（-β）=cosβ；同理，sinβ＜cosα；

因此；sinα-cosβ＜0，sinβ-cosα＜0；

故sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）＜0；不合题意；

从而可得：α+β=，得证．20、略

【分析】【分析】（I）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得D、A、B、C、A1、B1；

C1、D1各点的坐标，进而得到向量的坐标．设E（0，2，t），由解出t=1，得到的坐标，由此得到且，从而得到且，结合线面垂直判定定理可得A1C⊥平面BED；

（II）根据是平面BDE的一个法向量，由空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合空间直线与平面所成角的定义，可得这个余弦值即为A1B与平面BDE所成的角的正弦值．【解析】【解答】解：（I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系D-xyz如图所示；可得。

D（0；0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）；

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0；0，4）（2分）

设E（0，2，t），则．

∵BE⊥B1C；

∴可得．解之得t=1；

∴E（0，2，1），且．

又∵；（4分）

∴

且（6分）

∴且．

∵BD；BE是平面BDE内的相交直线．

∴平面BDE（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系；得。

是平面BDE的一个法向量；

又∵；

∴；

因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为（12分）21、略

【分析】【分析】（1）先求出其导函数，结合已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b；即可得到f（x）的解析式；

（2）先根据=f'（）得到，再由叠加法即可求：数列{an}的通项公式；

（3）①根据＜，再代入即可得到证明；

②先根据=-可得左边成立；再对的和进行放缩即可得到右边．【解析】【解答】解：（1）由f′（x）=2ax+b，∴解得，即f（x）=x2+2nx；

（2）∵；

∴，由叠加得=n2-n；

∴an=；

（3）①

＜（k≥2）

当n≥2时，4+[（1-）+（-）++（）]=5-＜5．

②∵=-＞0；

∴==；

=++=2-＜2；

即≤＜2．22、略

【分析】【分析】（Ⅰ