2025年苏教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年苏教版高一数学下册阶段测试试卷547考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若关于的方程在恒有解，则实数的取值范围是A.B.C.D.2、将-885°化为α+k•360°（0°≤α＜360°；k∈Z）的形式是（）

A.-165°+（-2）•360°

B.195°+（-3）•360°

C.195°+（-2）360°

D.165°+（-3）•360°

3、设正整数集N*，已知集合A={x|x=3m，m∈N*}，B={x|x=3m-1，m∈N*}，C={x|x=3m-2，m∈N*}，若a∈A，b∈B；c∈C，则下列结论中可能成立的是（）

A.2006=a+b+c

B.2006=abc

C.2006=a+bc

D.2006=a（b+c）

4、sin480°等于（）A．B．C．D．5、【题文】如图是一个几何体的三视图；根据图中数据，可得该几何体的表面积是()

A.9B.12C.11D.6、将两个数a=3，b=10交换，使a=10，b=3，下面语句正确的一组是（）A.B.C.D.7、已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边长，b和c是关于x的方程x2﹣9x+25cosA=0的两个根（b＞c），且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=sinBsinC，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8、下列各组中两个函数是同一函数的是（）A.与g（x）=x+1B.f（r）=πr2（r≥0）与g（x）=πx2（x≥0）C.且a≠1）与D.9、已知数列{an}

中，a1=2an+1鈭�2an=0bn=log2an

那么数列{bn}

的前10

项和等于(

)

A.130

B.120

C.55

D.50

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为____．11、已知奇函数在上为增函数，在上的最大值为8，最小值为-1.则____________；12、【题文】函数在区间上的最大值是_____________。13、幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是______．14、一工厂生产某种产品的月产量y（单位：万件）与月份x构成的实数对（x，y）在直线y=x+1附近，则估计3月份生产该产品______万件．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．17、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)20、从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机；收割一片小麦；若这些收割机同时到达，则24h可以收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问这一批收割机在这片麦地上工作了多长时间？

21、已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：22、已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N+）

（1）证明：数列{an+1-an}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．23、设鈻�ABC

的内角ABC

的内角对边分别为abc

满足(a+b+c)(a鈭�b+c)=ac

．

(

Ⅰ)

求B

．

(

Ⅱ)

若sinAsinC=3鈭�14

求C

．评卷人得分五、综合题(共4题，共16分)24、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3；0）；B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D；求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．25、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．26、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．27、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于关于的方程在恒有解，即为根据定义域那么可知实数的取值范围是满足题意，故选A.考点：函数与方程【解析】【答案】A2、B【分析】

-885°=195°+（-3）•360°

故答案选：B

【解析】【答案】根据角的性质2kπ+α直接化解即可．

3、C【分析】

由于2006=3×669-1；

而a+b+c=3m1+3m2-1+3m3-2=3（m1+m2+m3-1）不满足；

abc=3m1（3m2-1）（3m3-2）不满足；

a+bc=3m1+（3m2-1）（3m3-2）=3m-1适合；

a（b+c）=3m1（3m2-1+3m3-2）不满足；

故选C．

【解析】【答案】由于2006=3×669-1，对于A：a+b+c=3m1+3m2-1+3m3-2=3（m1+m2+m3-1）不合；对于B：abc=3m1（3m2-1）（3m3-2）不合；对于C：a+bc=3m1+（3m2-1）（3m3-2）=3m-1适合；从而得出正确选项．

4、D【分析】【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B6、B【分析】【解答】解：先把b的值赋给中间变量c；这样c=10；

再把a的值赋给变量b，这样b=3；

把c的值赋给变量a；这样a=10．

故选：B

【分析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把b的值赋给中间变量c，这样c=10，再把a的值赋给变量b，这样b=3，把c的值赋给变量a，这样a=10．问题解决．7、C【分析】【解答】解：由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC；

∴sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC；

由正弦定理：∴b2+c2﹣a2=bc；

由余弦定理cosA=

∴sinA=

又∵由（1）方程x2﹣9x+25cosA=0即x2﹣9x+20=0，则b=5；c=4；

∴a2=b2+c2﹣2bccosA=9；∴a=3；

∴b2=c2+a2；三角形是直角三角形。

【分析】由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC，利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理求cosA，从而可求sinA的值，由方程x2﹣9x+25cosA=0，可得x2﹣9x+20=0，从而b，c，利用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=9，可求得a，直接判断三角形的形状即可．8、B【分析】解：对于A，的定义域是{x|x∈R且x≠1}；g（x）=x+1的定义域是R，两个函数的定义域不相同不是相同函数；

对于B，f（r）=πr2（r≥0）与g（x）=πx2（x≥0）的定义域都是R；对应法则相同，所以是相同函数；

对于C，且a≠1）函数的定义域R.的定义域是{x|x＞}；两个函数定义域不相同，不是相同的函数；

对于D，．两个函数的定义域不相同；不是相同的函数；

所以B正确．

故选：B．

判断两个函数的定义域以及对应法则是否相同；即可得到结果．

本题考查两个函数是否相同的判定，注意两个函数相同条件：定义域与对应法则相同．基本知识的考查．【解析】【答案】B9、C【分析】解：在数列{an}

中，a1=2an+1鈭�2an=0

即an+1an=2

隆脿

数列{an}

是以2

为首项；2

为公比的等比数列；

隆脿an=2隆脕2n鈭�1=2n

．

隆脿bn=log22n=n

．

隆脿

数列{bn}

的前10

项和=1+2++10=10(1+10)2=55

．

故选C．

由题意可得an+1an=2

可得数列{an}

是以2

为首项，2

为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到an

利用对数的运算法则即可得到bn

再利用等差数列的前n

项公式即可得出．

熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n

项公式即可得出．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】

设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为它的外接球的半径为

故所求的比为：1：3

故答案为：1：3

【解析】【答案】设出正方体的棱长；分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比．

11、略

【分析】本试题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性的性质的运用。由题f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为1，得f（3）=1，f（6）=8，∵f（x）是奇函数，∴f（-3）+2f（6）=-f（3）-2f（6）=-1-2×8=-15．，故答案为-15解决该试题的关键是根据奇函数性质的对称性作出草图可知函数的最值，并求解。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：设幂函数f（x）=xa；

则得a=-2；

∴f（x）=x-2；

∴它的单调递增区间是（-∞；0）．

故答案为（-∞；0）．

设出幂函数的解析式；将已知点的坐标代入，求出幂函数的解析式，由于幂指数小于0，求出单调区间．

本题考查通过待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质取决于幂指数的范围．【解析】（-∞，0）14、略

【分析】解：∵某种产品的月产量y（单位：万件）与月份x构成的实数对（x；y）在直线y=x+1附近；

∴直线y=x+1可近似看成线性回归方程；

则令x=3；则y=4；

∴估计3月份生产该产品4万件．

故答案为：4．

根据某种产品的月产量y（单位：万件）与月份x构成的实数对（x；y）在直线y=x+1附近，则直线y=x+1可近似看成线性回归方程，将x=3代入即可求出所求．

本题主要考查了线性回归方程，该题省略了求解回归方程，从而使得题目计算难度大大下降，属于基础题．【解析】4三、证明题(共5题，共10分)15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共4题，共20分)20、略

【分析】

设这几台收割机的工作时间依次为a1，a2，a3，an；

依题意知a1，a2，a3，an组成一个等差数列；

又每台收割机每小时的工作效率为则a1=5an①

②

由②得a1+an=48解出a1=40h

答：这些收割机在这片麦地上工作了40h．

【解析】【答案】设抽调了n台型号相同的联合收割机，从第一台投入工作起，这n台收割机工作的时间依次为a1，a2，an小时，由题意它们构成一个等差数列，且a1=5an；工作总量之和为1，布列方程组并解决．

21、略

【分析】（1）利用递推关系式找出相邻项的关系，从而利用数列的概念求出数列通项公式；(2)先化简所给式子，然后利用式子构造递推式子，作差化简得到等差数列中项的式子即可证明；(3)利用放缩法证明不等式，证明时要注意适当放缩。【解析】

（1）故数列是首项为2，公比为2的等比数列。（2）①②②—①得即③④④—③得即所以数列是等差数列（3）设则【解析】【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析.22、略

【分析】

（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{an+1-an}成等比数列．

（2）利用等比数列的通项公式求出an+1-an=2n，然后根据an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1求出数列{an}的通项公式．

本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．【解析】解：（1）证明：∵an+2=3an+1-2an

∴an+2-an+1=2（an+1-an）

又a1=1，a2=3

即

∴数列{an+1-an}是以2为首项；2为公比的等比数列。

（2）由（1）知an+1-an=2n

∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1

=2n-1+2n-2++2+1

=2n-123、略

【分析】

(I)

已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算；整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB

将关系式代入求出cosB

的值，由B

为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B

的度数；

(II)

由(I)

得到A+C

的度数；利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A鈭�C)

变形后将cos(A+C)

及2sinAsinC

的值代入求出cos(A鈭�C)

的值，利用特殊角的三角函数值求出A鈭�C

的值，与A+C

的值联立即可求出C

的度数．

此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．【解析】解：(I)隆脽(a+b+c)(a鈭�b+c)=(a+c)2鈭�b2=ac

隆脿a2+c2鈭�b2=鈭�ac

隆脿cosB=a2+c2鈭�b22ac=鈭�12

又B

为三角形的内角；

则B=120鈭�

(II)

由(I)

得：A+C=60鈭�隆脽sinAsinC=3鈭�14cos(A+C)=12

隆脿cos(A鈭�C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC鈭�sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=12+2隆脕3鈭�14=32

隆脿A鈭�C=30鈭�

或A鈭�C=鈭�30鈭�

则C=15鈭�

或C=45鈭�

．五、综合题(共4题，共16分)24、略

【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S△CAEF=S四边形EFCB，根据NP∥CE，求出，设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴点C的坐标为（0；-3a）；

答：点C的坐标为（0；-3a）．

（2）当∠ACB=90°时；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO•OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范围为0＜a≤；

答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G；延长DC交x轴于点H，如图．

∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-3；0），B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴抛物线方程为y=ax2+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．

过B作BM⊥DH；垂足为M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值为1；

答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，，；

设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，

连接CE；过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF；

因为NP∥CE，所以S△CEF=S△CEN；

由已知可得NO=1，；而NP∥CE；

∴，得；

设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则；

解得：；

即；①

同理可得过A、C两点的一次函数为；②

解由①②组成的方程组得，；

故在线段AC上存在点满足要求．

答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-，-）．25、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴