中考数学二轮培优训练第21讲 直角三角中的分类讨论（原卷版）

第21讲直角三角中的分类讨论【应对方法与策略】1、两个定点求一个动点。这种题目找点方法是过两个定点做垂线，以定长为直径画圆，简称“两个垂直一个圆”。通过这样的作图法，可以快速找到符合题意的点，这就是常说的找点。求点的方法，构造三垂直模型，根据直角两侧有相似就可以求解。2、两个动点或三个动点。因为三角形只有三个角，所以分三种情况讨论就可以了！当然有时也有直角不成立的情况。当它们分别为直角时，用相似或勾股定理求解，一般情况下，相似求解比勾股定理要简单一些。【多题一解】【一题多解】一、解答题1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动．(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等；①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是

cm/s．（请直接写出答案）2．（2022·湖北宜昌·统考一模）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，BO＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．①求旋转角的度数；②求线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2，点O是正方形ABCD内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCP，连接OP．当OA、OB、OC满足什么条件时，△OCP为直角三角形？3．（2022·四川南充·统考三模）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于．是第一象限内抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接，，当时，求点的坐标．(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，平移后，的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·广西·统考中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．5．（2023春·八年级课时练习）如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB．(1)求a值；(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；(3)当t=2时，在正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90º，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022春·广西桂林·八年级校考期中）如图，Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当为何值时，；(3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．7．（2022·山东济南·山东省济南稼轩学校校考模拟预测）如图，抛物线经过点，点，且．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)如图，连接，过点作的平行线交抛物线于点，为线段上一动点，连接交抛物线于点，连接交于点，连接，的面积是否有最大值，若有，求出最大值，若无，请说明理由．(3)如图，以为直角顶点，为直角边边向右作等腰直角，将沿射线线平移得到，连接、，的周长是否有最小值，若有，求的周长的最小值，若无，请说明理由．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．9．（2022秋·广东中山·九年级统考期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标；(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标11．（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B．过点B的直线y=-x+b与x轴交于点C．已知A（-4，0）、C（3，0），点D为x轴上一动点，将△ABD沿BD折叠得到△EBD，直线BE与x轴交于点F．(1)求直线AB、BC的函数解析式；(2)若点D在线段AO上，且△DEF与△BFC的面积相等，求线段BD的长；(3)在点D的运动过程中，△DEF能否成为直角三角形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．13．（2022春·山东东营·八年级统考期末）如图1．在四边形ABCD中，，点E是CD边的中点，连接AE交对角线BD于点F，∠EDF=∠FBA，连接CF．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面积；(3)如图2，连接AC交BD于点O，点P为EC上一动点，连接OE、OP．将△OPD沿OP折叠得到△OPM，PM交OC于点N，当△PCN为直角三角形时，求CP的长．14．（2022秋·九年级课时练习）综合与探究如图，已知抛物线与x轴相交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC．（1）求点A，B，D的坐标；（2）设抛物线的对称