2-2-3-一元二次不等式的解法(人教B版2019必修第一册)

2.2.3一元二次不等式的解法温故知新一元二次方程,一元二次函数,一元二次不等式(1)一元二次方程因式分解法(十字相乘)公式法：(2)一元二次函数开口方向；对称轴:顶点坐标

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式.(3)一元二次不等式的定义：ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0(a≠0)(a≠0)如：如何解一元二次不等式？二、一元二次不等式解法1.试一试:解一元二次不等式,(1)x2-x-6>0和(2)x2-x-6<0解：⑴x2-x-6>0(x-3)(x+2)>0∴x>3或x<-2∴不等式的解集为﹛x|x<-2或x>3﹜

⑵x2-x-6<0(x-3)(x+2)<0∴-2<x<3∴不等式的解集为﹛x|-2<x<3

﹜

(3)x2+x-1<0(3)x2+x-1<0?2.对“三个二次”的探究x2-x-6<0x2-x-6=0y=x2-x-6

分析.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：

(1).相应方程x2-x-6=0(2).当y=0时,x取

，

当y>0时,x取

，当y<0时,x取

.(3).由图象写出：不等式x2-x-6>0

的解集为

。不等式x2-x-6<0

的解集为

。x=-2或3x<-2或x>3-2<x<3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x|-2<x<3﹜yx0-23ooo

oy>0y>0y<0→(x+2)(x-3)=0的根x2-x-6<0

一元二次不等式x2-x-6=0

一元二次方程y=x2-x-6

一元二次函数“三个二次”的关系如下表(a>0)△=b2-4ac△>0△=0△<0

二次函数

y=ax2+bx+c

的图象

二次方程ax2+bx+c=0

的根一元二次不等式ax2+bx+c>0

的解集

一元二次不等式ax2+bx+c<0

的解集有两个不等实根x1≠x2有两个相等实根x1=x2=无实根﹛x|x<x1或x>x2﹜{x|x∈R,x≠}R{x|x1<x<x2}φXY0x1XY0x1x2YX0φ例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵x2－2x－15≥0

y-350x∴不等式的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。。。∴(x+3)(x-5)≥0∵△>0∴相应的方程有两个不同的实根练一练：

(1)x2+x-6>0(2)-x2+5x+6>0(3)x2+x-3<0{x│x<－3或x>2}{x│-1<x<6}解一元二次不等式的方法步骤是：(3)根据图象写出解集

步骤:(1)化成标准形式(a>0)：

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

(2)求解方程，画图象；

方法：数形结合记忆：3.“取值”“小于取中间”“大于取两边”1.“化成标准型”

2.“解方程”→｝→

这张表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二次函数的图像。记忆口诀：大于0取两边，小于0取中间.(a>0且△>0)xyox1x2●●解一元二次不等式的步骤：①把二次项系数化为正数；②解对应的一元二次方程；③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象；④得出不等式的解集．两边同乘以-1即可化为

>0的情况课堂探究x1x2△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像方程ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1(x2)△>0△=0△<0有两个不相等实根x1,x2(x1<x2)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x1<x<x2﹜有两个相等实根x1=x2无实根﹛x|x≠x1﹜ØØR三个二次的关系分式不等式f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)<0或f(x)＝0[思路探索]将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．【例2】

分式不等式的解法规律方法

(1)解分式不等式关键是如何将它转化为同解的整式不等式，化未知为已知．做题时要体会这种转化的思想．(2)转化的依据是实数运算的符号法则，所以要将不等式一边先化为零．一元高次不等式常用穿针引线法求解，其步骤要熟练掌握．另外，适合不等式的根在数轴上用“·”标出，不适合的根用“。”．

简单高次不等式的解法分别令各个因式为零，可得根依次为－1,2,1，－4.在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图如下：由上图可得不等式的解集为{x|－4<x≤－1或x≥2}．【名师点评】

(1)解简单的高次不等式时要特别注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起来．(2)对原不等式化简时，要化成右边为0，左边分解为乘积或商的形式。2．高次不等式的解法——穿根法穿根法不等式的步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；总结：奇过偶不过(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．解

(1)各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为二重根，－1为三重根．在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图【训练】二次不等式的恒成立

例1

已知关于x下列不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1试求a的取值范围.≥0恒成立，≥0的解集为R恒为非负对任意x∈R都成立解：令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①当a=2时，y=1符合题意；②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；△＝(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-6)③当a<2时，则a∈｛｝；综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.x2–ax–6a2<0例2

解关于x下列不等式：含参数的二次不等式解：原不等式可化为：(x–3a)(x+2a)

<0①当a=0时，x2<0,无解；②当a>0时，3a>

-2a，则有-2a<x<3a；③当a<0时，3a<

-2a，则有3a<x<-2a.综上，当a=0时，原不等式的解集为空集；当a>0时，原不等式的解集为{x|-2a<x<3a}；当a<0时，原不等式的解集为{x|3a<x<-2a}.二次函数图象的应用例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(1)两根都大于0;(2)一个根大于0,另一个根小于0;(3)两根都小于1;解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交x1x2X=m/2则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0得m≤-6或m≥2.二次函数图象的应用例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(1)两根都大于0;ox1x2X=m/2解：(1)∵两根都大于0∴2≤

m<3.二次函数图象的应用例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(2)一个根大于0,另一个根小于0;ox1x2X=m/2解：(2)∵一个根大于0,另一个根小于0;∴m>3.二次函数图象的应用例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(3)两根都小于1;x1x2X=m/2解：(3)∵两根都小于1∴m≤

-6.13.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b=（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜-2或X＞1/2}，则关于x的不等式ax2-bx+c＜0的解集为：⑶对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对于任意实数恒成立，则实数a的取值范围为：4.当m为何值时，