理论力学课件：点的合成运动

点的合成运动基本概念点的速度合成定理及其应用点的加速度合成定理及其应用6.16.26.3目录Contents基本概念/016.1基本概念4点M的运动相对于地面观察者，点的轨迹是旋轮线。对车上观察者来说，点的轨迹是圆。三项主要任务确定2确定一组定参考系和一组动参考系。约定：定参考系固结在地球上。组坐标系1个动点明确求解的那一点（或对求解最有帮助的一点），选这一点为动点。选择123区分搞清绝对运动、相对运动和牵连运动种运动3绝对运动相对运动牵连运动区分三种运动应注意：站在什么地方看物体的运动；看什么物体的运动动点与定参考系的运动为绝对运动；绝对运动动点与动参考系的运动为相对运动；相对运动动参考系与定参考系的运动为牵连运动牵连运动站在定参考系看动点的运动——绝对运动点点点点站在动参考系看动点的运动——相对运动点点点点站在定参考系看动参考系的运动——牵连运动参考体参考体参考体参考体从前例看区分3种运动Mu

R1个动点选择M

点为动点2个坐标系动参考系O’x’y’与车厢固结；定参考系按照约定固结在地球上3种运动动点M相相对与Oxy标系（地球）的运动为绝对运动；动点M相相对与O’x’y’标系（车厢）的运动为相对运动；O’x’y’坐坐标系（车厢）相对与Oxy系（地球）的运动为牵连运动6.1.1两种坐标系111.定参考坐标系、动参考坐标系在上述例子中，滚动车轮上M的动系固定在车厢上。把固定在地球上的坐标系称为定参考坐标系Oxyz。定系

动系6.1.2三种运动126.1.3三种速度和加速度动点在相对运动中的速度和加速度称为：相对速度和相对加速度记作：vr

和

ar

(RelativeMotion)动点在绝对运动中的速度和加速度称为：绝对速度和绝对加速度记作：va

和aa

(AbsoluteMotion)动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，直线运动,曲线运动。还有什么？三种速度和加速度14动参考系中，与动点重合的那一点的速度和加速度称为：牵连速度和牵连加速度记作：ve和ae(CarrierMotion)牵连运动是参考体的运动。更直观地说，是刚体的运动它可能作平动、定轴转动或其他较复杂的运动7.1绝对运动、相对运动、牵连运动15167.1绝对运动、相对运动、牵连运动176.2速度合成定理1819在瞬时t，动点位于点M动参考系与曲线AB固结，定参考系与地面固结。经过极短时间间隔△t。动点沿动系移动到M2点.（相对运动）

6.2速度合成定理20

分别为动点的绝对位移、牵连位移和相对位移。将上式等式两边同除以△t，并令△t→0，取极限，得21根据速度的定义，动点M的绝对速度动点M的相对速度牵连点的牵连速度22由于所以

动点在某瞬时的绝对速度=它在该瞬时的相对速度+牵连速度的矢量和例题155

仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示，试求φ=60º时，顶杆AB的速度。

ABv0nφR运动演示2425

解：1.选择动点，动系与定系。动系－Ox'y'，固连于凸轮。2.运动分析。绝对运动－垂直方向的直线运动。牵连运动－水平平动。动点－AB的端点A。相对运动－沿凸轮轮廓的曲线运动。ABnφROx'y

'v0定系－固连于水平轨道。相对运动轨迹26273.速度分析。绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线

。牵连速度ve：ve=

v0，方向水平向右。ABnφRvaveφv0vr28此瞬时杆AB的速度方向向上。速度合成定理ABnφRvaveφv0vr29平动实例讨论：若取凸轮圆心O′点为动点，动系固连顶杆AB，则相对运动轨迹是什么曲线？例题230

刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，两间距离OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。运动演示3132解：1.选择动点，动系与定系。动系－O1x'y'，固连于摇杆O1B。2.运动分析。绝对运动－以O为圆心的圆周运动。相对运动－沿O1B的直线运动。牵连运动－摇杆绕O1轴的摆动。动点－滑块A。y'x'定系－固连于机座。33应用速度合成定理3.速度分析。绝对速度va：va＝OA·ω＝rω，方向垂直于OA，沿铅垂方向向上。

相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆O1B。牵连速度ve：ve为所要求的未知量，方向垂直于O1B。vavevr作出速度矢量图34因为所以设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则其中所以可得vavevr例题335

如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。R36eOCθωB解：1.选择动点，动系与定系。动系－Ox´y´，固连于凸轮。2.运动分析。绝对运动－垂直方向的直线运动。相对运动－以C为圆心的圆周运动。牵连运动－绕O轴的定轴转动。动点－AB的端点A。y'x'定系－固连于机座。37eOCAθωBvevaθvr应用速度合成定理3.速度分析。绝对速度va：va为所要求的未知量，方向沿杆AB。

相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线。牵连速度ve：ve＝OA·ω，方向垂直于OA。6.2速度合成定理38选取动点、动系及速度合成的一般原则所选取的动点和动系之间必须有相对运动，因此动点与动系不能选同一物体上。12动点的三种运动较简明，动点的相对运动要易于直观的看出注：在一些问题中，如果A构件上有一点始终与B构件接触且在其上运动。则选A构件上这一点为动点，动系固结在B构件上。3作图时，绝对速度在平行四边形的对角线上。6.3.1牵连运动为平动时点的加速度合成定理动点M沿着动系上的曲线运动，同时曲线又随同动系相对于定系作平动。k’j’i’yxzOy’x’z’O’M动点M的运动方程为：x’=f1(t)y’=f2(t)z’=f3(t)显然：牵连运动为平动时点的加速度合成定理在每一瞬时，平动刚体上各点的速度、加速度彼此相等：

ve=vO’,ae=aO’由速度合成定理

va=ve+vrk’j’i’yxzOy’x’z’O’Maraaae即得：aa=ae+araaaeararaaae讨论牵连运动为平动时点的加速度合成定理aa=ae+ar因为点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹可能都是曲线，牵连运动也可能是曲线平动。加速度合成定理的一般形式为：上式所有加速度矢量的方位都是给定的，但指向不完全确定。画指向原则：对未知指向，随意画；已知指向就必须按已知方向画。

所有的法向加速度都不能随意画。求加速度之前需先求速度。上式中，只有三项切向加速度的6个要素可能是待求量，一般情况下，若知4个便可求解。点的复合运动：例题442

曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀角速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。OABDECφω点的复合运动：例题443运动演示点的复合运动：例题444OABDECφω解：1.选择动点，动系与定系。动系－Bx´y´，固连于丁字形杆。2.运动分析。绝对运动－以O为圆心的圆周运动。相对运动－沿槽CD的直线运动。牵连运动－丁字形杆BC沿水平方向的平动。动点－滑块A。y'x'定系－固连于机座。点的复合运动：例题445OABDECφω因牵连运动为平动，应用加速度合成定理3.加速度分析。绝对加速度aa：aa=OAω2

，沿着OA，指向O相对加速度ar：大小未知，方向沿铅直槽DE牵连加速度ae：大小未知，待求，沿水平方向aeaaar

得杆BC的加速度点的复合运动：例题546

凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示，设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加速度。ABvanφR点的复合运动：例题547

解：1.选择动点，动系与定系。动系－Ox´y´，固连于凸轮。2.运动分析。绝对运动－直线运动。牵连运动－水平平动。动点－AB的端点A。相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。ABvanφROx'y'定系－固连于机座。点的复合运动：例题548ABvanφROx'y'vavevrφ3.速度分析。绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线。牵连速度ve：ve=v，方向水平向右。根据速度合成定理

可求得：点的复合运动：例题549

4.加速度分析。绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量，方向沿直线AB。相对加速度切向分量art：大小未知，垂直于OA，假设指向右下。牵连加速度ae：ae=a，沿水平方向。相对加速度法向分量arn：aen=vr2/R，沿着OA，指向O。ABvanφROaeaa点的复合运动：例题550根据加速度合成定理（牵连为平动）

上式投影到法线n上，得解得杆AB在图示位置时的加速度

ABvanφROaeaa例6将前例中的垂直导杆换成绕B轴定轴转动的摇杆。以AB杆的A点为动点，动系与半圆凸轮固结。试画出加速度矢量图。ABR

va不妨先请同学画一下。R

B

A例7再将前例凸轮的约束作图示改动，其它同。试画出加速度矢量图。不妨请同学再画一下。以矢积表示点的速度和加速度回顾刚体内任一点的速度可用矢量积表示，在轴线上任选一点O为原点，动点M的矢径为r，则

v

=

rM

点的加速度a=d

v/dt

即

于是得：a=

r+

vzORM

v

r

r

va

an

6.3.2牵连运动为转动时加速度合成定理的理论推导1、求OzyxO’x’y’z’k’j’i’A设动坐标系为O’x’y’绕定坐标系Oxy的z轴以角速度

e转动。

先分析k’对

t

的导数，A点和O’点的矢径分别为rA和rO’又：rArO’

式(1)－(2)得：

e以矢端A点为对象6.3.2牵连运动为转动时加速度合成定理的理论推导（续1）2、求：

即：3、求：6.3.2牵连运动为转动时加速度合成定理的理论推导（续2）OzyxO’x’y’z’k’j’i’RO’

e设M点为动点，它的矢径为r当动系绕z

轴以角速度

e转动时，牵连速度（动系上与动点重合的那一点的速度）为：ve=

e×r式中：∵

r

是动点M的矢径，最后得：Mrr’

eMrr’

eMrr’

eMrr’

e（）（）（）（）合成定理的理论推导（续3）4、证明将速度合成定理va=ve+vr等式两边对时间

t求导分别代入第1部分和第2部分的结果，便得：上式表明：当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。——科氏加速度科氏加速度的若干说明（1）可以证明上式对牵连运动为任意运动时皆成立，它是加速度合成定理的普遍形式。当牵连运动为平动时，

e

=0，导致aC=0，一般式退化到平动时的特殊式。其中

为

e

与vr

两矢量间的最小夹角。aC的大小为：aC=2

evr

sin

矢aC垂直与

e和v

r组成的平面，指向按右手法则。z科氏加速度的若干说明（2）aC=2

evr

的两种特殊情况：1、下列情况导致aC=0

a)前面提到的

e=0，如刚体平动情形。b)vr=0，设滑块为动点，动系与摇杆AO固结。c)

e∥v

r

，如图示绕z

轴转动的球体，其上一动点沿经向运动到0度纬线瞬时。

ev

rAO

ev

r

ev

r

ev

r点的复合运动：例题860

刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度α1。vavevry

x

由例题3速度分析得解：1.选择动点，动系与定系。动系－O1x´y´，固连于摇杆O1B。动点－滑块A。定系－固连于机座。

点的复合运动：例题8点的复合运动：例题862x'y'O1Oφωω1ABaaaraC2.加速度分析。绝对加速度aa：沿着OA，指向O。相对加速度ar：大小未知，假设沿O1B向上。牵连加速度切向分量aet：大小未知，垂直于O1B，假设指向右下。牵连加速度法向分量aen：

沿着O1A，指向O1。

科氏加速度aC：

垂直O1B指向如图。点的复合运动：例题863上式向O1x

'轴投影

或解得故摇杆O1A的角加速度转向为逆时针α1

由于牵连运动有转动，所以加速度合成定理x'y'O1Oφωω1ABaaaraC

点的复合运动：例题964

图示一汽阀凸轮机构，设此瞬时，OA=r，凸轮轮廓曲线在A点的曲率半径为ρ，其法线n—n与OA的夹角为θ，凸轮绕固定轴O以等角速度ω0转动，试求此时挺杆平动的加速度。点的复合运动：例题965运动演示点的复合运动：例题966y'x'O´解：1.选择动点，动系与定系。动系－O´x´y´，固连于凸轮。2.运动分析。绝对运动－沿Oy轴的直线运动。相对运动－A点沿凸轮轮廓的曲线运动。牵连运动－凸轮及动坐标系的定轴转动。动点－挺杆的端点A。定系－固连于机座。点的复合运动：例题967y'x'O´3.速度分析。绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮轮廓曲线的切线。牵连速度ve：ve=

r

ω0，方向水平向右。vevavrθ

应用速度合成定理

可求得：点的复合运动：例题968aeaaaCy'x'O´4.加速度分析。绝对加速度aa：大小未知，为所求挺杆加速度，方向铅垂。

相对加速度切向分量art：大小未知，方向沿凸轮轮廓曲线的切线。

点的合成运动69一般情况下求解点的合成运动问题的解题步骤选择动点，动参考系。分析三种运动、三种速度、三种加速度。分析时明确各种速度、加速度的大小、方向这两元素，那个已知，那个待求。进行速度分析，并作速度矢量图。作图时，绝对速度要成为平行四边形的对角线上。进行加速度分析，并作加速度矢量图。加速度分析时，应根据牵连运动情况选择相对应加速度合成。以矢积表示点的速度和加速度----回顾刚体内任一点的速度可用矢量积表示，

v

=

rM

点的加速度a=d

v/dt

即

zORM

v

r

r

va

an

7.4牵连运动为转动时，加速度合成定理1、求OzyxO’x’y’z’k’j’i’A设动坐标系为O’x’y’绕定坐标系Oxy的z轴以角速度

e转动。

先分析k’对

t

的导数，A点和O’点的矢径分别为rA和rO’rArO’

式(1)－(2)得：

e2、求：

即：平动时此项=0

7.4牵连运动为转动时，加速度合成定理3、求：OzyxO’x’y’z’k’j’i’RO’

e设M点为动点，它的矢径为r当动系绕z

轴以角速度

e转动时，牵连速度ve=

e×r最后得：Mrr’

eMrr’

eMrr’

eMrr’

e

7.4牵连运动为转动时，加速度合成定理4、将速度合成定理va=ve+vr等式两边对时间

t求导分别代入第1部分和第2部分的结果，便得：上式表明：当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。——科氏加速度

7.4牵连运动为转动时，加速度合成定理科氏加速度的若干说明（1）可以证明上式对牵连运动为任意运动时皆成立，它是加速度合成定理的普遍形式。当牵连运动为平动时，

e

=0，导致aC=0，一般式退化到平动时的特殊式。其中

为

e

与vr

两矢量间的最小夹角。aC的大小为：aC=2

evr

sin

矢aC垂直与

e和v

r组成的平面，指向按右手法则。z科氏加速度的若干说明（2）aC=2

evr

的两种特殊情况：1、下列情况导致aC=0

a)前面提到的

e=0，如刚体平动情形。b)vr=0，设滑块为动点，动系与摇杆AO固结。c)

e∥v

r

，如图示绕z

轴转动的球体，其上一动点沿经向运动到0度纬线瞬时。

ev

rAO

ev

r

ev

r

ev

r点的复合运动：例题877当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度α1。vavevry

x

由例题3速度分析得解：1.选择动点，动系与定系。动系－O1x´y´，固连于摇杆O1B。动点－滑块A。定系－固连于机座。

点的复合运动：例题8点的复合运动：例题879x'y'O1Oφωω1ABaaaraC2.加速度分析。绝对加速度aa：沿着OA，指向O。相对加速度ar：大小未知，假设沿O1B向上。牵连加速度切向分量aet：大小未知，垂直于O1B，