2024-2025学年四川省成都市高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年四川省成都市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．过点，且倾斜角为的直线方程为（）A． B． C． D．2．某市年深入实施创新驱动发展战略，新产业新产品增势良好．调研统计了家企业，得到了他们的科技创新月平均新增收益如下：（单位：百万元），则其百分位数是（

）A． B． C． D．3．已知空间向量，，若，则（）A． B． C． D．4．与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（）A． B． C． D．5．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（

）A． B．C． D．6．有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（

）A．5 B．6 C．7 D．87．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行反射镜轴的入射光线与抛物线的交点为A（4，4），则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（

）

A． B． C． D．8．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（

）A．Q B．R C．S D．T二、多选题（本大题共3小题）9．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示两条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲线10．设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则相互独立 D．若相互独立，则11．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（

）A．当时，B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得平面D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为三、填空题（本大题共3小题）12．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为．13．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为．14．已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点，(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；(2)求．16．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求：(1)动点P的轨迹C的方程；(2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由.17．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．(1)求证：平面ADE；(2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．18．在平面直角坐标系中，已知圆和圆．

(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；(2)设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．19．一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.(1)请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线；(2)利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程；(3)我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.

答案1．【正确答案】A【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以直线方程为.故选：A2．【正确答案】C【详解】因为，所以从小到大排列取第个数为．故选：C．3．【正确答案】B【详解】由，知，使得，即，所以，解得，所以．故选：B4．【正确答案】A【详解】因为椭圆，焦点在y轴上，且，又因为所为双曲线与双曲线共渐近线，所以设所求双曲线，即则，解得.所以所求双曲线为.故选：A5．【正确答案】D【详解】点M在线段OA上，且，又，∵N为BC的中点，.故选：D.6．【正确答案】A【详解】依题意，，解得，所以组数据的方差为.故选：A7．【正确答案】C【分析】由题意可以求出抛物线的方程，再根据光线的反射性质求出反射光线的方程，即可求出反射光线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式即可得出答案.【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线方程为.故抛物线的焦点为，又因为反射光线经过点及焦点，所以反射光线AB的方程为，联立抛物线方程得，解得或，故反射光线AB与抛物线的交点为，由两点距离公式得所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.故选C.

8．【正确答案】A【分析】连接点P和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.【详解】设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，因为，所以越小，越大，越大，所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.故选：A.9．【正确答案】AC【详解】对于A，当时，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项正确；对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，即实数的取值范围为，故选项B错误；对于，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，故选项C正确；对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故选项D错误．故选：AC．10．【正确答案】AC【详解】对于A，若，则，A正确；对于B，若，则事件互斥，所以，B错误；C选项，因为，所以，则相互独立，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，且，所以，D错误．故选：AC．11．【正确答案】AC【详解】对于选项A，当时，，如图所示，

根据平面向量基本定理，此时P在线段上，由于在正方体中，平面，平面，所以，选项A正确；对于选项B，当时，，如图所示，

由平面向量基本定理，此时P在线段上，由图可知，三棱锥当以平面为底面时为定值，但因为顶点P在线段上运动，所以P到底面的高不确定，故三棱锥的体积不是定值，选项B错误；对于选项C，当时，如图所示，

此时，由平面向量基本定理，取AB与中点M，N，则P在线段MN上运动，由图可知，过B点且与平面平行的平面为平面，平面，所以此时平面，又P是MN与交点，即当且仅当P是MN中点时，有平面，故选项C正确；对于选项D，如图所示，

以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，因为，则有，又，所以，所以.于是，，所以的夹角为时有，，解得或，即或都可以使得的夹角为，选项D错误.故选：AC.12．【正确答案】/0.25【详解】由得，所以抛物线的焦点到准线的距离.故13．【正确答案】【详解】上半部分电路畅通的概率为：，下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：．故答案为.14．【正确答案】/【详解】设为坐标原点，则，从而.

设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案为.15．【正确答案】(1)抛物线C的方程为．焦点坐标为．(2)8【分析】（1）根据焦点F到其准线的距离求出，即可求出抛物线C的方程及其焦点坐标.（2）根据直线l过焦点F且倾斜角为45°，得出直线l的方程，让直线l与抛物线方程联立，消去y，设出A，B两点坐标，根据抛物线的定义即可求出.【详解】（1）由题意在抛物线中，焦点F到其准线的距离为2，∴，∴抛物线C的方程为，焦点坐标为．（2）由题意及（1）得在抛物线中，过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为，∴联立方程组消去y可得，设，，则，∴根据抛物线的定义，．16．【正确答案】(1)；(2)存在，或.【详解】（1）设动点，由题意，化简整理得，故点P的轨迹C的方程是.（2）直线斜率不存在时不合题意，斜率存在时，设直线与曲线C的交点为，由，得，，则，，，整理得，解得或（舍）.经检验，符合题意，直线l的方程为，即或.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，是的中点，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，故，，，设平面的法向量，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值．18．【正确答案】(1)或(2)【分析】（1）直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程；（2）设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，根据有无数个解可确定的取值.【详解】（1）由圆的方程知：圆心，半径；当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；当直线斜率存在时，设其方程为：，即，圆心到直线的距离，解得：，直线方程为：，即；综上所述：直线方程为或.（2）由圆的方程知：圆心，半径；设点，①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；则被圆截得的弦长为：；被圆截得的弦长为，解得：或；或；②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意；③当过的直线斜率存在且不为时，设，则，即，，圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，，即，，又，，，，当时，整理可得：，满足题意的直线有无数对，，解得：，即；当时，整理可得：，满足题意的直线有无数对，，方程组无解；综上所述：满足条件的点的坐标为.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)焦点：；准线：和(3)答案见解析【详解】（1）证明：观察图象可知若函数的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，且轴､轴是图象的渐近线，直线是双曲线的对称轴，它与双曲线的两个交点是双曲线的两个顶点，实轴长.两焦