2024-2025学年陕西省西安市长安区高三上册第四次考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省西安市长安区高三上学期第四次考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，且，，则（

）A． B． C． D．4．如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（）A． B．2 C．6 D．46．双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（

）.A． B． C． D．7．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．8．已知正数，满足，若恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共1小题）9．在复平面内，若复数对应的点为，则（

）A． B． C． D．三、未知（本大题共1小题）10．已知函数为奇函数，且，当时，，则（）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．的最小正周期为2 D．四、多选题（本大题共1小题）11．已知在上有且仅有2个极值点，则下列结论正确的是（

）A．B．若的图象关于直线对称，则的最小正周期C．若的图象关于点对称，则在上单调递增D．，使得在上的最小值为五、填空题（本大题共3小题）12．已知函数，为的导函数，则的值为.13．在平面直角坐标系中,已知,是圆上的两个动点，满足,则面积的最大值是.14．设函数，若，则的最小值为.六、解答题（本大题共6小题）15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.16．如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且．(1)证明：平面平面；(2)若钝二面角的余弦值为，当时，求的长．17．已知函数，，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明.18．设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.19．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X～N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.≈0.004．20．设复数对应复平面内的点Z，设，则任何一个复数都可以表示成的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，称为复数z的辐角，若，则称为复数z的辐角主值，记为．(1)若，证明：，并写出的三角形式（无需证明）；(2)求方程虚根的实部：(3)证明：时，参考数据：．

答案1．【正确答案】D【详解】由可得，解得或；由.所以.故选：D.2．【正确答案】D【详解】当时，满足，但是，即充分性不满足，当时，由对数函数的单调性可得，即，但是不一定成立，即必要性不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D3．【正确答案】B【详解】由则，，，可得①，，则或，由①可得，,；故选：B.4．【正确答案】C【详解】依题意，在三棱锥中，，因此三棱锥可以补形成以为共点三条棱的长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C5．【正确答案】C【详解】由题意知，正项等比数列的前3项和为21，且，则，解得.故选：C.6．【正确答案】B【详解】令双曲线的半焦距为，则，令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，于是，，过点作于,则，而为线段的中点,所以因为，所以，由双曲线定义得，即，解得.所以该双曲线的离心率为.故选：B.7．【正确答案】D【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，设Px,y,.所以,,,,所以,因为,即,故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动，所以的最大值为.故选：D.8．【正确答案】A【详解】因为，所以等价于，又，所以，则，即，又，所以，即实数的最小值为.故选：A9．【正确答案】AC【详解】由复数对应的点为，可得，.对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，所以，故D错误；故选：AC.10．【正确答案】ABD【详解】对于A，因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称，又函数的图像向右平移1个单位可得到函数的图像，所以的图象关于点对称，故A正确；对于B，因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，由的图象关于点对称，，，则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误；对于D，因为当时，，所以，，因为的图象既关于点对称，又关于直线对称，所以的一个周期为，所以，所以，所以，故D正确．故选ABD．11．【正确答案】BC【详解】对于选项A：因为，所以，要使在上有且仅有2个极值点，则，解得，故选项A错误；对于选项B：因为的图象关于直线对称，所以，解得，，又因为，所以，，故选项B正确；对于选项C：因为的图象关于点对称，所以，解得：，因为，所以，所以当时，，则在上单调递增，故选项C正确；对于选项D：当时，，因为，所以，在上的最小值小于，故选项D错误.故选：BC.12．【正确答案】【分析】根据导数的乘法运算法则求导，再代入求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为.13．【正确答案】【详解】设的中点为，因为，所以,由垂径定理可知，且有公共点，所以三点共线，所以，设到直线的距离为，由题知，，则，，若点位于点与直线之外，点到直线的距离为；若点位于点与直线之间，点到直线的距离为；易得，所以，令，.所以，令，则，负值舍去.当时，；当时，，故当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为.14．【正确答案】【分析】根据恒成立得出条件等式，即可构造函数，再借助导数研究其最小值即可.【详解】当时，，则，即，当时，，则，即，即有，即，则，令，，，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值为.15．【正确答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16．【正确答案】(1)证明见解析(2)2【详解】（1）因为为中点，且，所以，即，又，，平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以.又，，所以，所以，则.又，平面，所以平面.又平面，所以：平面平面.（2）由（1）可知：，，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，设（），则.所以，，.设平面的一个法向量为m=x由，可取.设平面的一个法向量为n=x由，可取.，整理得：（舍去）所以，即.17．【正确答案】(1)单调减区间为，单调增区间为；(2)证明见解析.【详解】（1）由已知可得函数，则，令，解得.又，所以，所以当时，ℎ′x<0，当x∈0,+∞所以函数的单调减区间为，单调增区间为0,+∞.（2）由可得，所以曲线y=fx在点x1,f由可得所以曲线y=gx在点x2因为这两条切线平行，故有即两边取以为底的对数，得，所以.18．【正确答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．【正确答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23(2)【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则．记总样本数据的平均数为，方差为．由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为．根据方差的定义，总样本方差为由可得同理，，因此，所以，所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．（2）由（1）知，