2024-2025学年广东省东莞市高一上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省东莞市高一上学期期末数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，那么集合（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B．C． D．3．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（

）A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时4．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（

）A． B． C． D．6．若函数，在上是增函数，则实数a的取范围是（

）A． B． C． D．7．平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A． B． C． D．8．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．可是奇函数二、多选题（本大题共4小题）9．已知函数则下列选项中正确的是（

）A．的最小正周期是B．在上单调递减C．满足D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到10．下列说法正确的有（

）A．函数关于点对称B．函数的图象过定点C．方程在区间上有且只有1个实数解D．若，则的最小值为11．已知函数，且，则（

）A．的图象关于直线对称 B．在上单调递减C． D．12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共4小题）13．.14．已知函数，，则．15．若，则.16．设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于x的不等式的解集为．四、解答题（本大题共6小题）17．已知．(1)求的值；(2)求的值．18．设函数．(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．19．设函数．(1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图（请先列表，再描点连线）；(2)若，求的值．20．为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．己知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；(2)药物释放完毕后，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？21．函数（且）是定义在R上的奇函数．(1)求a的值，并判断的单调性，并证明；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．22．已知函数．(1)解关于x的不等式；(2)若关于x的方程有三个实根．（i）求；（ii）求的取值范围．

答案1．【正确答案】B【分析】求出集合，利用并集运算即可.【详解】因为，所以，解得，由，所以.故选：B.2．【正确答案】C【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.【详解】根据题意得：故选：C.3．【正确答案】C【分析】根据前5个小时消除了的污染物，由，求得k，再设污染物减少所用的时间为t，由求解.【详解】因为在前5个小时消除了的污染物，所以，解得，所以，设污染物减少所用的时间为t，所以，所以，解得.故选：C.4．【正确答案】C【分析】利用三角函数图象变换规律可得出结论.【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得到.故选：C.5．【正确答案】A【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.【详解】根据函数的图象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因为，所以.故选：A.6．【正确答案】B【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值．【详解】由题意，得，故选：B7．【正确答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选C．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．8．【正确答案】D【分析】由题意可得关于和对称，即可得到，即可判断.【详解】因为是奇函数，所以，因为是奇函数，所以，即关于和对称，所以，，得，得，令，，，，满足条件，而，，满足条件，但是奇函数，是偶函数，故AB都错；且，故C错；因为，所以，即，所以可是奇函数.故D对故选：D9．【正确答案】AB【分析】结合余弦函数的图象变换、周期、对称性以及单调性一一判断各选项，即可得答案.【详解】由周期公式得，故A对；因为在单调递减，所以令，得，取时，，而是的子集，故B对；，，故，故C错；由的图象向右平移个单位得到，故D错故选：AB10．【正确答案】ACD【分析】对于A选项：分离常数，结合反比例函数即可判断；对于B选项：由对数型函数的定点知识即可判断；对于C选项：结合零点存在定理即可判断；对于D选项：利用基本不等式计算即可.【详解】对于A选项：，该函数可由反比例函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，故的图象关于对称，故选项A正确；对于B选项：由，令，即，则，故函数的图象过定点，故选项B错误；对于C选项：由，得，令，易知在上单调递增且图象连续不断，因为，，所以，所以方程在区间上有且只有1个实数解，故选项C正确；对于D选项：因为，所以，所以，当且仅当时，即，有最小值为.故选项D正确；故选：ACD.11．【正确答案】ABC【分析】根据对称性判断A选项，令，所以，根据单调性即可判断单调性即B选项，根据单调性即可判断C和D选项.【详解】因为，所以，因为，所以的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故A选项正确；令，所以，如图，对勾函数在单调递减，所以在上单调递减，故B选项正确；因为，所以，，所以，故C选项正确，D选项错误.故选：ABC.12．【正确答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x，y，z满足，设，则，，．对于A，，故A正确；对于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B错误；对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；对于D，由，可得（），故D正确．故选：ACD13．【正确答案】【分析】利用二倍角余弦公式直接化简，结合特殊角的三角函数值可得答案.【详解】故本题考查二倍角余弦公式，是基础题14．【正确答案】【分析】发现，计算可得结果.【详解】因为，，且，则.故答案为-2本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.15．【正确答案】根据两角和差的正弦、余弦公式化简为，利用诱导公式及二倍角公式求解.【详解】,,即，故本题主要考查了两角和差的正余弦公式，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.16．【正确答案】【分析】求出分段函数的解析式，对分类讨论并构造函数，利用单调性即可算出.【详解】结合题意：若，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，即，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，当时，，而，此时不满足；当时，，而，此时不满足；当时，要使，只需，即，令，则在上单调递增，且,而，解得.即的解集为.故答案为.17．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可;（2）由（1）问，将的分母展开代入即可.【详解】（1），解得：，，解得：，，，，．（2）由（1）知，，,.18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，转化为任意，恒成立，结合二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，转化为在上有实数解，结合二次函数的性质，求得函数的最大值与最小值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由函数，令，可得，因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立，又由函数的图像开口向上，对称轴为，当时，；当时，，则，解得，所以实数a的取值范围.（2）解：由，令，要使得方程关于x的方程在有实数解，即在上有实数解，即在上有实数解，令，由，可当在上单调递减，在单调递增，当时，，当或时，，则，解得，即实数的取值范围为.19．【正确答案】(1)图象见解析；(2).【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简求出，利用“五点”作图法列表作图即可；（2）通过得到，并借助诱导公式化简计算即可.【详解】（1）结合题意可得：，列表如下：1001区间内的图象如图所示：（2）由（1）问可得：，，即，，即.20．【正确答案】(1);(2).【分析】（1）确定函数模型，利用待定系数法求解即可;（2）要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下，只需,计算即可.【详解】（1）结合图象，当时，由药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，故可设直线为，因为在在上，所以，解得，所以当时，此时的函数关系为；当时，y与t的函数关系式为，由图可知经过，所以，解得，所以当时，y与t的函数关系式为.所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.（2）药物释放完毕后，要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下，只需，解得.所以从药物释放开始,至少需要经过小时,学生才能回到教室.21．【正确答案】(1)，单调递增，证明见详解；(2)【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数在R上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；（2）由（1）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解.【详解】（1）由题意，得，解得，当时，，则，所以函数为奇函数，合题意，故.函数为R上的增函数.证明如下：任取，且，则，，，即，，，所以，即，所以函数为R上的增函数.（2）由（1）得在上单调递增，，存在，使得成立，即，令，易知在上单调递增，所以.即，当且仅当时等号成立，，所以实数的取值范围为.思路点睛：第二问，由在上单调递增，得，将原问题转化为，只需即可，换元令，在上单调递增，求出最大值可得的取值范围.22．【正确答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解；（2）（i）由（1）得到，转化为有三个实根，分别求得，；（