2024-2025学年福建省厦门市高二上册期末模拟考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省厦门市高二上学期期末模拟考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若直线和直线平行，则（

）A．或 B．或C． D．2．在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（

）A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOyC．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面3．已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（

）A． B． C．3 D．44．已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（

）A．31 B． C．31或5 D．或55．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（

）A． B． C． D．6．古希腊数学家阿波罗尼斯在著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面直径均为6，母线长均为5，过圆锥轴的平面与两个圆锥侧面的交线为，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知圆与x轴交于A,B两点，点M是直线上任意一点．设，则t的可能取值是（

）A． B． C． D．38．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．C． D．10．已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（

）A． B．2 C． D．11．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴的距离分别为，则（

）A．抛物线C的准线方程为B．若，则周长的最小值等于3C．若，则的最小值等于2D．若，则的最小值等于12．已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（

）A．任意与正整数m，使得 B．存在与正整数m，使得C．任意非零实数与正整数m，都有 D．若，则三、填空题（本大题共4小题）13．两条直线与之间的距离是．14．已知直线经过两点，则点到直线的距离为．15．某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为.16．如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列等腰直角三角形，，，，且，记点的横坐标为，则；通项公式．四、解答题（本大题共6小题）17．已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.18．如图，已知圆，点.(1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程；(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.19．如图，在直三棱柱中，M，N分别为AC，的中点.(1)证明：平面；(2)若平面，，，求点A到平面的距离.20．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；(2)若在第一象限，证明.21．某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．(1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；(2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？22．已知点为椭圆的左焦点，在C上．(1)求C的方程；(2)记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，，且．①当时，求四边形的面积；②求四边形的面积最大时点M的坐标．

答案1．【正确答案】C【详解】直线和直线平行，，解得或，当时，两条直线重合；当时，两条直线平行.综上，.故选：C.2．【正确答案】C【详解】由已知得，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，易判断与，不平行，所以直线AB不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错.因为，所以直线不平行坐标平面，故A错因为，点A、B均不在坐标平面上，所以直线AB与坐标平面平行，故C对.故选：C3．【正确答案】B【详解】圆:,即圆心半径切线长为故选:B.4．【正确答案】B【详解】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且当时，，计算得所以当时，，，所以综上：故选：B5．【正确答案】C【详解】四面体ABCD是正四面体，，且、、三向量两两夹角为，点E，F分别是BC，AD的中点，，，则，故选：C.6．【正确答案】A【详解】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，由题，得，则，即，..由，得离心率.故选：A.7．【正确答案】B【详解】由知，则直线恒过定点，如图，当直线与圆相离时，连接，设（或）与圆O交于点C，连接CB（CA），则，由外角的性质，知，由图可知，当直线与圆相切或相交时，在直线上均存在点M，使得，所以等价于直线与圆O相离，则，解得.故选：B8．【正确答案】C【详解】连接、，由在以为直径的圆上，故，、在椭圆上，故有，，设，则，则有，，即可得，解得，故，则，故.故选：C.9．【正确答案】AD【详解】空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足，且，对于A，由，得，则空间中四点A，B，C，D不共面；对于B，由，得，则空间中四点A，B，C，D共面；对于C，由，得，则向量共面，即四点A，B，C，D共面，对于D，由，即，得，则空间中四点A，B，C，D不共面.故选：AD10．【正确答案】BC【详解】由双曲线的焦点坐标，可得，要使得满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支，则满足，解得且，结合选项，选项B、C符合题意.故选：BC.11．【正确答案】BD【详解】A：由抛物线方程可知抛物线准线是，A错误．B：当时，的周长，B正确．C：因为，所以在圆上，圆心为，所以，设，则，所以，所以的最小值等于，C错误．D：若，则在直线上，，D正确．故选：BD12．【正确答案】ABD【详解】对于A：因为，所以，所以，则，故A正确；对于B：记，由，可得，因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，，故B正确；对于C：由A可知所有同号，①当时，易得对于任意正整数n，，②当时，，即，因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，，③当时，，即，因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，，故C错误；对于D：由B可知对于任意正整数n，，当时，所以，，由C中②知当时，，又，解得，所以，所以，故D正确；故选：ABD13．【正确答案】2【详解】将化为，可知两直线平行；由两平行线间的距离公式可得，直线与之间的距离.故214．【正确答案】【详解】由题可知，则，，故点到直线的距离为．故15．【正确答案】【详解】如图，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故，所以曲线的轨迹方程为，因为，所以，当且仅当共线时，等号成立，所以从处到、两村的路程之和的最小值为.故答案为.16．【正确答案】2；.【详解】设各个直角三角形斜边长分别为，则前项和为.设，，则.则，解得，.当时，，，由可得，，所以，又，两式作差可得，，又，所以，整理可得.所以是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，所以.故2；.17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，，故；当时，，故，故，则，又满足，∴，.（2）由（1）可得：，故.18．【正确答案】(1)(2)或.【详解】（1）解：由，化为标准方程得所以圆的圆心坐标为，又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为，设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得，则有解得，所以圆的圆心坐标为，半径，故圆的方程为.

（2）解：因为圆弧恰为圆周长的，根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴，此时直线的方程为.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.可得，即，解得，所以直线的方程，即，故所求直线的方程为或.

19．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取的中点H，连接MH，HN.因为M为AC的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为H，N分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.因为面MHN，所以平面平面.因为平面MHN，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为三棱柱是直三棱柱，所以，.以BA，，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为.由，得，取.所以点A到平面的距离.20．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）

由题意知，，，所以，当时，在双曲线方程中令,即，解得，即，又，即，得，所以，因为点坐标为，所以，所以双曲线方程为.（2）由（1）知，所以，双曲线的方程可化为，当时，，如图所示:

所以为等腰直角三角形，即，易知；当与不垂直时，如图:

设，又点在上，所以，即，即，又因为，所以，即无论与是否垂直，根据正切函数在区间和上严格单调递增，均有，综上，．21．【正确答案】(1)(2)4【详解】（1）由题意得是等差数列，，所以，由题意得，所以，所以是首项为250，公比为的等比数列，所以，所以.（2）是数列的前项和，所以，是数列的前项和减去600，所以，，又当时，函数单调递增，所以函数单调递增，且时，时，所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.22．【正确答案】(1)(2)①面积为，②；【详解】（1）根据题意将代入可得，又，解得；所以C的方程为；（2）在曲线C的上半部分取两点M，N，且，延长交椭圆与