人教版（2025新版）七年级下册数学期中复习：基础练习题汇编（含答案解析）

七年级下学期期中复习（基础）相交线与平行线题型一：对顶角、邻补角及其性质1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α，则∠EOF=．(用含α的式子表示)【答案】90°−【分析】本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义以及邻补角的性质，先根据对顶角相等求出∠BOD=2α，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=α，由邻补角得∠COE=180°−α，再根据角平分线定义得∠EOF=90°−1【详解】解：∵∠AOC=2α，∴∠BOD=∠AOC=2α，∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠DOE=α，∠COF=∠EOF=1∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°−α，∴∠EOF=90°−α如图，直线、相交于点O，平分，平分．若的度数为．则_____．（用含α的代数式表示）题型二：垂直的性质3.如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=29°，则∠CON的度数为度．【答案】61【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的性质,得出∠MOC的度数是解题关键．直接利用角平分线的性质得出∠AOM=∠MOC,进而利用垂直的定义得出∠CON的度数．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC,∠AOM=29°,∴∠MOC=∠AOM=29°,∵ON⊥OM,∴∠CON=90°−∠MOC=90°−29°=61°．故答案为：4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=，∠COB=．【答案】52°128°【分析】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，掌握以上知识是解题的关键．根据对顶角相等可知∠AOC=∠BOD，根据余角的定义求得∠BOD，根据邻补角的定义求得∠COB．【详解】∵OE⊥AB，∠EOD=38°，∴∠BOD=90°−∠EOD=90°−38°=52°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=52°，∴∠COB=180°−∠AOC=180°−52°=128°，故答案为：52°,128°．题型三：点到直线的距离如图是某同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印，则她的跳远成绩为米．【答案】2.05【分析】本题考查的是点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则做出分析和判断．【详解】解：根据题意以及生活常识可知，跳远的成绩为离起跳线较近的那只脚的后脚跟到起条线的距离．∵点到直线的最短距离为垂线段．∴跳远成绩为起跳线的垂线段2.05米．故答案为：2.05如图，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．则：（1）点A到直线CD的距离为；（2）点A到直线BC的距离为；（3）点B到直线CD的距离为；（4）点B到直线AC的距离为；（5）点C到直线AB的距离为．【答案】3.666.484.8【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确理解点到直线的距离的定义是解答本题的关键．（1）根据点到直线的距离，可得点A到直线CD的距离为线段AD的长；（2）根据点到直线的距离，可得点A到直线BC的距离为线段AC的长；（3）根据点到直线的距离，可得点B到直线CD的距离为线段BD的长；（4）根据点到直线的距离，可得点B到直线AC的距离为线段BC的长；（5）根据点到直线的距离，可得点C到直线AB的距离为线段CD的长．【详解】（1）解：∵CD⊥AB，∴点A到直线CD的距离为线段AD的长，AD=3.6；故答案为：3.6．（2）解：∵AC⊥BC，∴点A到直线BC的距离为线段AC的长，AC=6；故答案为：6．（3）解：∵CD⊥AB，∴点B到直线CD的距离为线段BD的长，BD=6.4；故答案为：6.4．（4）解：∵AC⊥BC，∴点B到直线AC的距离为线段BC的长，BC=8；故答案为：8．（5）解：∵CD⊥AB，∴点C到直线AB的距离为线段CD的长，CD=4.8．故答案为：4.8．题型四：三线八角如图，若AB，AF被ED所截，则∠1与

【答案】∠3【分析】本题考查内错角定义．根据两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角进行分析解答即可．【详解】解：若AB，AF被ED所截，则∠1与故答案为：∠3．如图，∠3的同旁内角是，∠4的内错角是，∠7的同位角是

【答案】∠4,∠5∠2,∠6∠1,∠4【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．【详解】解：由图可得：∠3的同旁内角是∠4,∠5∠4的内错角是∠2,∠6；∠7的同位角是∠1,∠4，故答案为：∠4,∠5；∠2,∠6；∠1,∠4．【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．如图，给出下列结论：①∠1与∠2是同旁内角；②∠1与∠3是同位角；③∠1与∠4是内错角；④∠1与∠5是同位角；⑤∠2与∠4是对顶角．其中说法正确的是．（填序号）

【答案】①②⑤【分析】根据角的性质判断即可.【详解】解：∠1与∠2是同旁内角，①说法正确；∠1与∠3是同位角，②说法正确；∠1与∠4不是内错角，③说法错误；∠1与∠5不是同位角，④说法错误；∠2与∠4是对顶角，⑤说法正确；故答案为：①②⑤.【点睛】本题主要考查角的性质，属于考试中常考的题型.题型五：平行的判定如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠2:∠3=2:5，求∠AOF的度数．【答案】(1)见解析(2)130°【分析】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）先利用角平分线的定义可得∠AOC=12∠COE，∠2=12∠DOE，从而利用平角定义可得（2）利用（1）的结论可得∠DOE:∠3=4:5，然后利用平角定义可得∠DOE=80°，∠3=100°，然后利用对顶角相等可得∠COE=∠3=100°，再利用角平分线的定义可得∠AOE=50°，从而利用平角定义进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴∠AOC=12∠COE∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠AOC+∠2=1∵∠1+∠2=90°，∴∠AOC=∠1，∴AB∥CD；（2）解：∵∠2:∠3=2:5，∠2=1∴∠DOE:∠3=4:5，∵∠DOE+∠3=180°，∴∠DOE=180°×49=80°∴∠COE=∠3=100°，∵OA平分∠COE，∴∠AOE=1∴∠AOF=180°−∠AOE=130°，∴∠AOF的度数为130°．如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知(1)求∠BOF的度数；(2)试说明AB∥【答案】(1)140°(2)见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质．（1）根据角平分线的定义推出∠2+∠AOC=90°，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出∠1=∠AOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【详解】（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∴∠AOE=∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠2+∠AOC=90°，∵∠COE=∠3，∴∠AOC=∴∠2+1∵∠2：∴∠3=∴∠2+1∴∠2=40°，∴∠3=100°，∴∠BOF=∠2+∠3=140°；（2）∵∠1+∠2=90°，∠2+∠AOC=90°，∴∠1=∠AOC，∴AB∥题型六：平行线的性质（求角）【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，（1）当点P在线段AB上运动时，试猜想∠CPD，∠α，∠β之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）当点P在线段A，B两端点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．

【答案】感知：110°；探究：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：感知：过点P作直线PQ∥AB，根据平行线性质知两直线平行同旁内角互补可以求出，∠APQ和（1）如图，过点P作直线PQ∥AD，而AD∥BC，可得PQ∥（2）当P在A的左侧时，当P在B的右边时，与（1）同理可求．【详解】解：感知：如图所示，过点P作直线PQ∥

∵AB∥∴PQ∥∴∠PAB+∠APQ=180°，∠QPC+∠PCD=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APQ=50°，∠CPQ=60°，∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=110°；探究：（1）如图，当点P在线段AB上运动时，过点P作直线PQ∥AD，而

∴PQ∥∴∠DPQ=∠ADP=∠α，∠QPC=∠PCB=∠β，∴∠CPD=∠α+∠β．（2）当P在A的左侧时，如图，过点P作直线PQ∥AD，而

∴PQ∥∴∠QPD=∠ADP=∠α，∠QPC=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠β−∠α．当P在B的右边时，如图，过点P作直线PE∥AD，而

∴PE∥∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠BCP=∠CPE=∠β，∴∠CPD=∠α−∠β．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为．（不需要证明）【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC=120°，∠D=80°，则∠ACD=【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】∠F=∠BMF−∠DNF；【结论应用】20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可求解；（2）如图②，过F作FH∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图③，过C作CG∥AB，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，则∠MEF=∠BME，又∵AB∥∴EF∥∴∠NEF=∠DNE，∴∠MEN=∠MEF+∠NEF，即∠MEN=∠BME+∠DNE；（2）解：∠BMF=∠MFN+∠FND．证明：如图②，过F作FK∥AB，∴∠BMF=∠MFK，∵AB∥CD，∴FK∥CD，∴∠FND=∠KFN，∴∠MFN=∠MFK−∠KFN=∠BMF−∠FND，即：∠BMF=∠MFN+∠FND．故答案为：∠BMF=∠MFN+∠FND；（3）如图③，过C作CG∥AB，∴∠GCA=180°−∠BAC=60°，∵AB∥DE，∴CG∥DE，∴∠GCD=∠CDE=80°，∴∠ACD=20°，题型七：命题下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若∠1=40°,∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°；④若b⊥c,a⊥c，则b∥a．其中假命题的是（填写序号）．【答案】①②【分析】逐个判断各个命题的真假即可．【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意；③若∠1=40°,∠2的两边与∠1的两边分别平行，如图：则∠2=40°或140°；故③为真命题，不符合题意；④若b⊥c,a⊥c，则b∥a，故④为真命题，不符合题意；综上：假命题有①②，故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是．【答案】①③/③①【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；真命题是①③，故答案为：①③．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法及点到直线的距离的定义．题型八：平移的性质及作图如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=5，将直角三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到直角三角形EFG，EF与AC交于点H，且AH=2，则图中阴影部分的面积为．【答案】8【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．解题的关键是熟知平移的基本性质．根据平移的性质可得S△EFG=S△ABC，则阴影部分的面积【详解】解：∵Rt△ABC沿BC的方向平移BF距离得△EFG∴EG=AC=5，S△∴S△EFG∴S梯形∵CH=AC−AH=5−2=3,CG=BF=2,EG=5，∴S梯形∴S梯形即图中阴影部分的面积为故答案为：如图，三角形ABC的边BC长为10cm．将三角形ABC向上平移4cm得到三角形A′B′C

【答案】40【分析】由平移的性质可得，S△A′【详解】解：由平移的性质可得，S△由题意知，S阴影故答案为：【点睛】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．实数题型一：平方根、算数平方根、立方根1.若一个正数的两个平方根分别是5a+1和a+5，则a的值是．【答案】−1【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求解；【详解】解：∵该正数的两个平方根分别是5a+1和a+5，∴5a+1+a+5=0，∴a=−1．故答案为：−1．【点睛】本题主要考查平方根的概念，掌握相关知识是解题的关键．2.已知5m−4的两个平方根分别是±4，4n−m的立方根为(1)求4m+3n的平方根；(2)若p+2m的算术平方根是3，求−10m−9n+3p的立方根．【答案】(1)±5(2)−4【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求4m+3n的平方根即可；（2）求出p的值，再求−10m−9n+3p的立方根即可．【详解】（1）解：∵5m−4的两个平方根分别是±4，4n−m的立方根为∴5m−4=(±4)2=16解得，m=4，n=3，4m+3n=4×4+3×3=25，∵(±5)2∴4m+3n的平方根是±5．（2）解：∵p+2m的算术平方根是3，∴p+2m=32∵m=4，∴p=1，−10m−9n+3p=−10×4−9×3+3=−64，∵(−4)3∴−10m−9n+3p的立方根是−4．【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．x…0.0640.6464640064000…x…0.252980.88m252.98…3…n0.8618418.56640…(1)表格中的m=______，n=______．(2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________．(3)若a≈14.142,3700（参考数据：2≈1.4142,【答案】(1)80；0.4(2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位(3)a+b=208.879【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解．（2）仿照算术平方根的规律探索即可．（3）根据发现的规律计算即可．【详解】（1）∵802∴6400=80故m=80．∵36400∴30.064故n=0.4故答案为：80，0.4．（2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．（3）根据平方根的变化规律得：∵2∴200∴a=200．根据立方根的变化规律得：∵3∴3∴b=8.879，∴a+b=200+8.879=208.879．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键．题型二：实数的分类以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分分家吧．(填写序号即可)【答案】无理数家族：④、⑤、⑥；整数：①、②；分数：③【分析】本题考查了实数，熟记实数的分类是解题的关键．根据实数的分类解答即可．【详解】16=4所以无理数家族：④、⑤、⑥；整数：①、②；分数：③把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）：①−2，②π，③−13，④−−3，⑤227，⑥−0.3，⑦−4正数：{______…}；整数：{______…}；分数：{______…}；非负有理数：{______…}；无理数：{______…}；负实数：{______…}．【答案】见解析【分析】本题考查了实数，根据实数的分类，逐一判断即可解答．【详解】解：正数：②⑤⑧⑩…整数：①④⑦⑨…分数：③⑤⑥…非负有理数：⑤⑨…无理数：②⑧⑩…负实数：①③④⑥⑦…故答案为：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦．题型三：实数与数轴把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）．−−2，5，0，3−8，−π【答案】数轴见解析；−π<【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴的特点，将各个点表示在数轴上，利用数轴比较大小即可．【详解】解：−−2=2，用“<”连接为：−π<3如图，数轴上从左至右依次有C，O，A，B四个点，分别对应的数字为x，0，1和3，且AB=CO．(1)求AB的长，并求x的值；(2)求x+3【答案】(1)AB=3−1(2)±1【分析】（1）利用数轴两点间距离公式求出AB的长、CO的长，利用AB=CO列出方程即可求出x的值；（2）把x的值代入代数式求值，再根据平方根的意义求出平方根即可．此题考查了数轴上两点间的距离、平方根等知识，熟练掌握数轴上两点间的距离和平方根的意义是解题的关键．【详解】（1）解：∵A，B对应的数字为1和3，∴AB=3∵C，O对应的数字为x，0，∴CO=0−x=−x，∵AB=CO，∴3−1=−x∴x=1−3（2）当x=1−3时，x+∵1的平方根是±1，∴x+32的平方根是题型四：实数的大小比较现有四个实数：−32，0，π(1)请在数轴上近似表示出上列四个实数．(2)请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“<”连接．______<______<______<______(3)将上列四个实数分别填入相应的横线上．整数：______；分数：______；无理数：______．【答案】(1)画图见解析(2)−4，0，−3(3)−4，0；−3【分析】本题考查的是在数轴上表示实数，实数的分类与大小比较，熟记算术平方根的含义是解本题的关键；（1）先化简绝对值，求解算术平方根，再在数轴上表示各数即可；（2）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案；（3）根据实数的分类可得答案．【详解】（1）解：∵−32=1.5∴在数轴上表示各数如下：（2）由数轴可得：−4（3）将上列四个实数分别填入相应的横线上．整数：−4，0分数：−3无理数：π．课堂上，老师出了一道题：比较19−23与小明的解法如下：解：19−2∵19>16,∴19>4．∴19−43我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：(1)1−5和1−(2)4−52和(3)5−32和【答案】(1)1−(2)4−(3)5【详解】解：（1）∵(1−5（2）4−5∵4<5<9,∴2<5（3）5−3∵5∴5题型五：实数的估值请阅读：①如果2=x+y，其中x是整数，且0<y<1，那么x=1，y=②已知a、b是有理数，并且满足等式5−3a=2b+233∵5−3∴5−3∵2b−a=5−a=23请解答：(1)如果7=a+b，其中a是整数，且0<b<1，那么a=______，b=(2)如果6+11的小数部分为m,6−11的整数部分为n，求(3)已知x，y是有理数，并且满足等式x2−2y−2【答案】(1)2(2)−5(3)9或−1．【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算、方程组的解，估计无理数是本题的关键，也是一个阅读材料问题，认真阅读，理解题意，从而解决问题．（1）根据夹逼法可得2<7<3，依此可求a和（2）根据夹逼法可得3<11<4，依此可求m和（3）因为x、y为有理数，所以x2【详解】（1）解：∵4∴2<∵7=a+b，其中a是整数，且0<b<1∴a=2，故答案为：2，7−2（2）解：∵9<∴3<11∴9<6+∵6+11的小数部分为m,6−11∴m=6+即m−n−11（3）解：∵x2−2y−2y=17−42∴x2∴y=−42÷−2∴x=±5y=4当x=5时，x+y=4+5=9，当x=−5时，x+y=4+−5∴x+y的值是9或−1．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．材料一：估算法确定无理数的小数部分．∵4<7<∴7的整数部分为2，∴7的小数部分为7−2材料二：面积法求一个无理数的近似值，已知面积为5的正方形的边长是5，∵2<5∴设5=2+x（x为5的小数部分，0<x<1画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形∵S正方形∴x2略去x2，得方程4x+4=5解得x=0.25，即5≈2.25解决问题：(1)结合你所学的知识，探究10的近似值（结果精确到0.01）；(2)请总结估算n（n为开方开不尽的数）的一般方法．【答案】(1)10≈3.17(2)求得n的整数部分a，即可得到n≈a+【分析】（1）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可；（2）根据材料二即可总结得出；本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算．【详解】（1）解：（1）我们知道面积是10的正方形的边长是10，∵3<10∴设10=3+x由图中面积计算，S正方形∵S正方形∴x2∵x是10的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2∴得方程6x+9=10，解得x≈0.17，∴10≈3.17（2）解：估算n（n为开方开不尽的数）的一般方法：求得n的整数部分a，即可得到n≈a+题型六：实数的运算计算：(1)−(2)3【答案】(1)−2(2)1.8【分析】本题考查了实数的混合运算．（1）根据实数的运算法则分别计算各项后合并即可；（2）根据立方根的定义、平方根的定义分别计算后，再算乘法，最后算加减即可．【详解】（1）解：−=−=−2；（2）解：3=−3−0−=1.8．计算或求x的值：(1)−1(2)−2(3)(x−1)2(4)(x+3)3【答案】(1)5；(2)−4；(3)x=−4或6；(4)x=−6．【分析】（1）利用乘方、算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质分别化简，再合并即可求解；（2）利用乘方、算术平方根、立方根的定义分别化简，再合并即可求解；（3）利用平方根的定义解答即可求解；（4）利用立方根的定义解答即可求解；本题考查了实数的混合运算，平方根、立方根的应用，掌握实数的运算法则和平方根、立方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：原式=−1+5−2+=5（2）解：原式=−4+0−=−4；（3）解：∵x−12∴x−1=±5，∴x−1=5或x−1=−5，∴x=−4或6；（4）解：∵x+33∴x+3=−3，∴x=−6．平面直角坐标系题型一：有序数对在数轴上，用有序数对表示点的平移，若(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，则(3,5)得到的数为（

）．A．8 B．−2 C．2 D．−8【答案】B【分析】由用有序数对表示点的平移，(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案.【详解】解：∵用有序数对表示点的平移，(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，∴数轴上的数2向左边平移1个单位得到的数为1,数轴上的数1向右边平移2个单位得到的数为3,∴(3,5)可表示数轴上的数3向左边平移5个单位得到的数是3−5=−2.故选：B.【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键.从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（

）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】D【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可．【详解】解：可以组成2，3，2，5，3，2，3，5，5，2，5，3共6个有序实数对，故选D．【点睛】本题考查函数的基础知识，熟练掌握有序实数对的意义及组合方法是解题关键．题型二：平面直角坐标系及点的坐标如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点1,−3上，“相”位于点3,−3上，则“炮”位于点（）

A．−1,1 B．−1,2 C．−2,0 D．−2,2【答案】C【详解】此题主要考查了建立平面直角坐标系，根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可，解题的关键是正确理解平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．【点睛】根据“帅”位于点1,−3上，“相”位于点3,−3上可建立如图的直角坐标系，

，∴“炮”位于点−2,0，故选：C．景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是（

）A．C(−1,−2) B．D(−3,1) C．E(−7,−3) D．F(4,−1)【答案】C【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系，根据点的位置，写出各点的坐标即可．【详解】解：根据点A的坐标为（-1，-2），表示点B的坐标为（1，1），确定坐标原点如下：可得：

C（-2，-1），D（-5，0），E（-7，-3），F（3，3），故选：C．【点睛】本题考查根据坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．题型三：象限及点的坐标特征若点A(m,n)到y轴的距离为4，到x轴的距离为3，且m没有平方根，点P(0,n)在y轴的正半轴上，则点A的坐标为（

）A．(−4,3) B．(−4,−3) C．(4,3) D．(4,−3)【答案】A【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据题目条件得出m<0,n>0，即可求出点A的坐标．【详解】解：∵点A(m,n)到y轴的距离为4，到x轴的距离为3，∴m=4,∵m没有平方根，点P(0,n)在y轴的正半轴上，∴m<0,n>0，∴m=−4,n=3，即点A的坐标为(−4,3)，故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标特征是解题关键．在平面直角坐标系中，有A(m−1,m+2),B(2,2m+1),C(2m+2,−1)三点，其中点A落在y轴上，P为直线AB上的一动点，若PC连线的长度最短，此时点P的坐标为（

）A．(−1,3) B．(4,3) C．(3,3) D．(2,2)【答案】B【分析】先根据点A在y轴上求出m，从而可得A(0,3),B(2,3),C(4,−1)，结合数轴可知当当CP⊥x轴时，CP长度最小，求出点P的坐标即可．【详解】解：∵点A(m−1,m+2)在y轴上，∴m-1=0解得m=1，∴A(0,3),B(2,3),C(4,−1)如图所示，∵点P是直线AB上的动点，∴当CP⊥x轴时，CP长度最小，∴点P(4，3)．故选：B．【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，垂线段最短等知识点，解题关键是理解x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为题型四：点到坐标轴的距离已知点P位于x轴下方，距离x轴a个单位长度，位于y轴右侧，距y轴b个单位长度，且a−4+2−b=0A．(2，−4) B．(−4，2) C．【答案】A【分析】本题考查了点的坐标，利用x轴下方，y轴右侧得出点位于第二象限，再利用到坐标轴的距离得出点的坐标．先利用a−4+2−b=0，得到a−4=0，2−b=0，求出a=4，b=2，再利用点P位于y轴右侧，x轴下方，得到P【详解】∵a−4+∴a−4=0，2−b=0∴a=4，b=2．∵点P位于y轴右侧，x轴下方，∴P点在第四象限．又∵点P距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，∴点P的横坐标为2，纵坐标为-4，即点P的坐标为(2，故选：A．若点Ax，y的坐标满足等式x+y−xy=0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到xA．43,4或2，2 C．45,−2或−2，−2 【答案】B【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标．【详解】解：∵到x轴的距离为4，∴y=4或y=−4，当y=4时，x+y−xy=x+4−4x=0，解得x=4∴该点的坐标为43当y=−4时，x+y−xy=x−4+4x=0，解得x=4∴该点的坐标为45故选：B．已知点P2a−2,a+5(1)点P在y轴上，求出点P的坐标；(2)点Q的坐标为4,5，直线PQ∥y轴；求出点(3)若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2022【答案】(1)P(0(2)P(4(3)7【分析】本题考查图形与坐标，掌握点的坐标特征是关键；（1）根据y轴上点的横坐标都为零即可解决问题．（2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．（3）根据第四象限内点的坐标特征及点到坐标轴距离的表示方法即可解决问题．【详解】（1）解：由点P在y轴上得，2a−2=解得a=则a+5=所以点P的坐标为0,6．（2）解：因为直线PQ∥所以直线PQ上所有点的横坐标都相等，则2a−2=解得a=则a+5=所以点P的坐标为4,8．（3）解：因为点P在第一象限，所以2a−2>0，a+5>0．又因为点P到x轴和y轴的距离相等，所以|2a−2|=即2a−2=a+5，解得a=7．因为7674所以a2022的立方根是7题型五：用坐标表示地理位置如图，杭州亚运会数字火炬手AA和吉祥物琼琮B、宸宸C、莲莲D在5×5的方格(每小格边长为1m)上沿着网格线运动.数字火炬手从A处出发去寻找B、C、D处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从A到B记为：A→B+1,+4，从B到A记为：B→A(1)A→C(______，______)；B→C(______，______)；C→______−3,−4；(2)若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为______m；(3)若数字火炬手从A处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为+2,+2，+2,−1，−2,+3，−1,−2，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置E点．【答案】(1)+3，+4；+2，0；A；(2)10；(3)见解析．【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键．（1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可；（2）根据运动路线列式计算即可得解；（3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点E的位置即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：A→D+3,+4，B→C+2,0，（2）解：若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为+1+（3）解：如图所示，点E为火炬手汪顺的位置．如图为某次军事演习敌我双方舰艇模拟对峙图．(1)对于我方潜艇来说，北偏东40°方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？这个数据能从图中取得吗？(2)相对我方潜艇，我方战舰1号在什么位置？(3)你能用其他方式确定敌、我双方战舰的位置吗？【答案】(1)敌方战舰B，小岛，潜艇到敌方战舰B的距离，能从图中取得，理由见解析；(2)相对我方潜艇，我方战舰1是在东偏南的位置；(3)建立坐标系，利用有序数对来表示．【分析】（1）根据方向角的定义即可得到结论；（2）根据方向角来表示，即可得到结论；（3）根据方向角的定义即可得到结论．【详解】（1）解：北偏东40°方向上的目标是敌方战舰B，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要潜艇到敌方战舰B的距离，这个数据能从图中取得，测量潜艇到敌方战舰B的图上距离，再按1:1000000的比例求解；（2）解：相对我方潜艇，我方战舰1是在东偏南的位置；（3）解：可以建立坐标系，利用有序数对来表示，即坐标来表示敌、我双方战舰的位置．【点睛】本题考查了方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义．题型六：坐标系中点的平移在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点分别是A−1,4,B−4,−1,C1,1，点A

(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：B1（

，

），C1（

，(2)在网格中，先画出平移后的三角形A1①若BC边上一点Pa,b经过上述平移后的对应点为P1，点P1②求平移过程中，三角形ABC扫过的面积S．【答案】(1)1,2,6,4(2)图见解析；①a+5,b+3；②30.5【分析】（1）根据点A平移后的坐标，得出平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，据此作答即可；（2）先根据（1）中确定的点的坐标作出平移后的三角形；①根据平移的方式进行求解即可；②利用割补法进行计算即可．【详解】（1）∵点A−1,4经过平移后对应点为A∴平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，∴B−4,−1,C1,1故答案为：1,2,6,4；（2）如图，

①点Pa,b经过上述平移后的对应点P1的坐标为故答案为：a+5,b+3；②三角形ABC扫过的面积S=5×5−1【点睛】本题主要考查了平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方式确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，能够根据平移前后点的坐标的变化，得出平移的方式是解题的关键．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的顶点为A(1,4)，B(1,0)，C(4,0)．

(1)直接写出点D的坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点M(−5,0)，N(−5,5)，将长方形ABCD沿x轴向左平移t(t>0)个单位长度，得到长方形A′B′C′D′①当t=4时，在图中画出长方形A′B′C′②若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．【答案】(1)(4,4)(2)①见解析；②4<t≤5【分析】（1）根据长方形ABCD的顶点为A(1,4)，B(1,0)，C(4,0)，即可得点D的坐标；（2）①根据平移的性质即可完成作图；②根据整点定义结合平移的性质即可解决问题．【详解】（1）解：∵长方形ABCD的顶点为A(1,4)，B(1,0)，C(4,0)，∴点D的坐标为(4,4)；（2）①当t=4时，如图，长方形A′B′C′

②如图，区域W内恰有3个整点，

由图形可知：t的取值范围是4<t≤5．【点睛】本题考查了长方形的性质，坐标与图形变换−平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．二元一次方程组题型一：二元一次方程（组）的定义已知4x−3y=5，用含x的式子表示y，则y=．【答案】4x−5【分析】利用等式的性质进行变形解答即可．【详解】解：4x−3y=5，4x−3y−4x=5−4x−3y=5−4x，−3y−3y=4x−5故答案为：4x−53【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤及正确根据等式的性质进行变形．若k−2xk−1−3y=2是关于x，y的二元一次方程，那么【答案】8【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可．【详解】解：∵k−2xk−1−3y=2是关于∴k−2≠0，k∴k=−2，∴k2故答案为：【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定义．题型二：二元一次方程（组）的解——代入法、整体法若关于x，y的二元一次方程组2x+y=4kx−y=k的解也是x+2y=12的解，则k的值为【答案】4【分析】让①-②得：x+2y=3k，根据x+2y=12，得出3k=12，求出k=4即可．【详解】解：2x+y=4k①①-②得：x+2y=3k，又∵x+2y=12，∴3k=12，解得：k=4，∴k的值为故答案为：【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用整体思想得出x+2y=3k．小琪解方程组3x+y=●2x−y=12时得到的解为x=−1y=△，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和△，请你帮她找回这两个数，●=，△=【答案】−17−14【分析】将x=−1代入2x−y=12可求得△；将x=−【详解】解：将x=−1代入2x−y=12所以y=−14，即△=−14，将x=−1，y=−14代入3x+y=0所以●=−17．故答案为：−17，−14．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．若a=1b=−2是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay−b=7的一个解，代数式3x2【答案】74【分析】根据二元一次方程的解的概念将a=1b=−2代入ax+ay−b=7中得到一个关于x，y【详解】∵a=1b=−2是关于a,b的二元一次方程ax+ay−b=7∴x+y+2=7，∴x+y=5，3x故答案为：74．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的概念和代数式求值，掌握二元一次方程的解的概念和整体代入法是解题的关键．题型三：解二元一次方程组——代入消元、加减消元请仔细阅读并完成相应任务：对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足x−y=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．任务：(1)方程组x+2y=112x−y=2的解x与y(2)若方程组3x−y=52x+y=4m的解x与y具有“邻好关系”，求m【答案】(1)不具有“邻好关系”，理由见解析；(2)m=5【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解“邻好关系”是解题关键；（1）先求解方程组，再根据“邻好关系”式判断是否符合即可；（2）先用含m的式子分别表示出x、y的值，根据题意列出关于m的方程，求解即可．【详解】（1）解：方程组x+2y=112x−y=2的解x与y理由：x+2y=11①2x−y=2②由②得：y=2x－2③，把③代入①得：x+2(2x−2)=11，解得：x=3，把x=3代入③中得：y=4．∴原方程组的解为：x=3y=4∵3−4≠1，∴x+2y=112x−y=2的解x与y（2）解：3x−y=5①2x+y=4m②解方程组得：x=4m+5∵方程组3x−y=5①2x+y=4m②的解x与y∴4m+55∴m=5解方程组：(1)4x+y=153x−2y=3(2)2x+3y=104x+y=5【答案】(1)x=3y=3(2)x=1【分析】（1）本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程的方法步骤，即可解题．（2）本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程的方法（代入消元法和加减消元法）步骤，即可解题．【详解】（1）解：4x+y=15①由①得：y=15−4x③，将③代入②中得：3x−215−4x3x−30+8x=3，11x=33，x=3，将x=3代入③中有y=15−4×3=3，综上所述，方程组的解为x=3y=3（2）解：2x+3y=10①4x+y=5②由①×2−②得，5y=15，解得y=3，将y=3代入②中，有4x+3=5，解得x=1综上所述，方程组的解为x=1题型四：二元一次方程组解的相关问题甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为【答案】0【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将x=−3y=−1代入方程组的第二个方程，x=5【详解】解：把x=−3y=−1代入②，得−12+b=−2.解得b=10；把x=5y=4代入①，得5a+20=15解得a=−1；所以a2024已知关于x，y的方程组x+2y−6=0(1)请直接写出方程x+2y−6=0的所有正整数解；(2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值．【答案】(1)x=2y=2或(2)m=−【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关键．（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解；（2）先构建新的方程组x+y=0x+2y−6=0，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入mx−2y+m+4=0【详解】（1）解：方程x+2y−6=0的所有正整数解：x=2y=2或x=4（2）解：由题意得：x+y=0解得x=−6y=6把x=−6y=6代入mx−2y+m+4=0，得：−6m−12+m+4=0解得m=−8题型五：二元一次方程组的实际应用【几何型】如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.

(1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【答案】(1)小长方形的长为10cm，宽为3cm；(2)67cm【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积−6个小长方形的面积，即可求出结论．【详解】（1）设小长方形的长为xcm，宽为y根据图形可知：x+3y=19x+y=2y+7解得：x=10y=3答：小长方形的长为10cm，宽为3cm；（2）由（1）得：小长方形的长为10cm，宽为3cm，∴长方形ABCD的宽为13cm，则阴影部分的面积=大长方形的面积−6个小长方形的面积，=13×19−6×3×10，=67(cm答：阴影部分的面积为67cm【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．【分配型】为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元/m2，建造新校舍的费用为700元/m2．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200m(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米；(2)如果绿化的费用为200元/m【答案】(1)原计划拆、建面积分别是4800m2(2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约1488【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解，（2）根据节约资金=原计划资金−实际资金，列出算式，即可求解，本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式．【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是xm2、ym2故答案为：原计划拆、建面积分别是4800m2、（2）解：(1+10%)×4800=5280m80%×2400=1920m[(4800−5280)×80+(2400−1920)×700]÷200=1488m故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约1488m【销售利润型】某商场用相同的价格分两次购进2匹和3匹两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表．2匹（台）3匹（台）总进价（元）第一次2030260000第二次1020160000(1)求该商场购进2匹和3匹立地式空调的单价各为多少元？(2)已知商场2匹立地式空调的标价为每台5400元，3匹立地式空调的标价为每台8400元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的2匹立地式空调打九折，3匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？【答案】(1)2匹立地式空调的单价为4000元，3匹立地式空调的单价为6000元；(2)两种立地式空调售出后商场获利111900元．【分析】（1）设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，根据题意，列出方程组求解即可；（2）分别计算出A型电脑的获利和B型电脑的获利，再相加即可；本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解．【详解】（1）设该商场购进2匹立地式空调的单价为x元，3匹立地式空调的单价为y元，根据题意得：20x+30y=26000010x+20y=160000解得：x=4000y=6000答：该商场购进2匹立地式空调的单