2024-2025学年福建省福州市高三上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省福州市高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x∈A}，则∁A.[0,1] B.[−1,0) C.[−1,0] D.(0,1]2.若z=1+i，则|z2−A.2 B.3 C.10 3.已知角α的终边经过点(1,2)，则tan(α+π4A.13 B.−13 C.34.设甲：x∈(0,1)，乙：x13<xA.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，S11=66A.7 B.8 C.9 D.106.若直线y=3ex为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象的一条切线，则a=A.e B.e3 C.3e D.7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别F1，F2.A是C上的一点(在第一象限)，直线AFA.305 B.32 C.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)，且f(−π3)=0，则满足f(x)在区间[0,π6]A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在正方体ABCD−A1B1A.直线AC与B1D1所成的角为90∘ B.直线AC与BC1所成的角为60∘

C.直线BD与平面ABC1D10.已知O为△ABC内部的一点，满足OB⋅OC=0，|OC|=2|OBA.|OA|=1 B.cos∠AOB=−35

C.△ABC11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上位于第一象限的一个动点，过A作抛物线C的切线交y轴于点M，交l于点N，过A作直线AP⊥l，垂足为P，则下列说法正确的是A.若△AFP为等边三角形，则|AF|=3 B.AN⊥PF

C.P，M，F三点共线 D.△AFN的面积的最小值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若偶函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=2，则f(1)=

.13.已知a>b>0，a+1a=b+1b，则114.已知三棱锥S−ABC的各个顶点均在半径为1的球O的球面上，AB=AC，SA=2，则三棱锥S−ABC的体积的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求B;(2)设D为AC边的中点，若BD=2b2，且△ABC的面积为316.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//平面PBC，PC与底面ABCD所成的角为45∘，PA=AD=2，BC=1，AB=(1)证明：AD⊥平面PAB;(2)求二面角A−PC−D的正弦值.17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程;(2)若与圆O:x2+y2=127相切的直线l(直线l的斜率存在)交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA的斜率为18.(本小题17分)设函数f(x)=(x−a)((1)当a=0时，求f(x)的极值;(2)已知a∈Z，若f(x)单调递增，求a的最大值;(3)已知a>0，设x0为f(x)的极值点，求f(x019.(本小题17分)设正整数m≥3(m为常数)，数列a1，a2，⋯，am各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合Sm={aiaj|1≤i<j≤m,i,j(1)若m=4，a1=1，a2=2，a(2)证明：2m−3≤|(3)若|Sm|=2m−3，且m≥6，证明：存在集合X，Y，使得X∪Y={a1,a2,⋯,am}，X∩Y=⌀答案和解析1.【正确答案】B

【分析】

本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题;

由集合A解得集合B，然后根据交集、补集的定义求解即可.

解：由−1≤x≤1，可知0≤x≤1，

所以A∩B=[0,1]，所以∁2.【正确答案】C

【分析】

本题考查复数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

先计算z2−z，再求模即可.

解：因为z2−z=(1+i)3.【正确答案】D

【分析】

本题考查了三角函数的定义以及两角和的正切公式，是基础题.

由三角函数的定义得tanα，再由两角和的正切公式计算即可.

解：易知tanα=2，

则tan(α+π4.【正确答案】A

【分析】

本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.

利用充分条件和必要条件的概念直接判断即可.

解：当x∈(0,1)时以x为底的对数函数为减函数，13>15，所以x13<x15;5.【正确答案】C

【分析】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质以及裂项相消法求和，是中档题.

先由等差数列得出an，再利用裂项相消法求和可得结果

解：依题意，S11=a1+a112×11=11a6=66，所以a6=6，

因为a2=2，由d=a66.【正确答案】B

【分析】

本题重点考查导数的几何意义，属于中档题.

设切点为(x0,ax0)，由题意得ax0lna=3eax0−0x0−0=3e，解出即可.

解：f′(x)=axlna，设切点7.【正确答案】D

本题考查求双曲线的离心率，属于一般题.

设|AF2|=m，由题意可得|BF2|=4m，|BF1|=4m，|AF1|=m+2a;

再由AF1⊥BF1得到m,a之间的关系，结合余弦定理即可得c,a的关系，可得离心率.

设|AF2|=m，如图所示：

由题意可得|BF2|=4m，|BF1|=4m，|AF1|=m+2a;

又|AB|=|AF2|+|BF2|，由AF18.【正确答案】A

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

直接利用正弦型函数的性质及已知条件，求出0<ω≤3，再对

ω的值检验即可求出结果．

解：依题意，−πω3+φ=kπ(k∈Z)，所以φ=kπ+πω3(k∈Z)，因为ω3≤1，有0<ω≤3，

因为0<φ≤π，所以φ=πω3，

因为φ=πω3≤π，故0<ω≤3，

当x∈[0,π6]时.ωx+φ∈[πω3,πω2].

若1≤ω≤32，则f(x)的最大值为1=ω3，即9.【正确答案】AB

【分析】

本题主要考查了异面直线所成角与直线与平面所成的角，属于中档题.

利用数形结合思想，依次对所给选项进行判断即可.

解：

易知AC//A1C1,AC⊥BD,所以AC⊥B1D1，故A对;

平移AC至A1C1，可知△A1BC1为正三角形，故B对;

连接A1D，记AD1∩A1D=E，易证A1D⊥平面ABC1D1，

故BD与平面ABC110.【正确答案】ABD

【分析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积，是中档题.

根据平面向量的线性运算和平面向量的数量积逐一判定即可.

解：对于A，由5OA+3OB+2OC=0，

可得−5OA=3OB+2OC，

两边平方可得|OA|=1，故A正确;

对于B，由5OA+3OB+2OC=0，

可得−2OC=5OA+3OB，

两边平方有16=25+30OA⋅OB+9，

有OA⋅OB=−35，可得cos∠AOB=−35，故B正确;

对于C，可知sin∠AOB=45，

所以sin∠AOC=sin(2π−∠AOB−∠BOC)=11.【正确答案】BCD

【分析】本题考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，是较难题.

根据抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系逐一判定即可.

解：若△AFP为等边三角形，则∠PAF=∠AFx=60∘，

所以|AF|cos60∘+2=|AP|=|AF|，所以|AF|=4，选项A错误;

设A(x0,y0)，设A处切线方程为x=m(y−y0)+x0，

联立y2=4x可得，y2−4my+4my0−4x0=0，

所以16m2−4×(4my0−4x0)=0，即(m−y02)2=0，即m=y02，

所以A处切线方程为x=y02(y−y0)+x0，有x=y0y2−y024，

所以M(0,y02)，N(−1,y012.【正确答案】1

【分析】

结合已知函数解析式及f(x)为偶函数代入可求．

本题主要考查了函数的函数值的求解，属于基础试题．

解：令x=−1，

所以f(−1)+f(1)=2f(1)=2，解得f(1)=1.13.【正确答案】4

【分析】本题考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题.

由题意可知，ab=1，然后利用基本不等式求解最值.

解：∵a>b>0，a+1a=b+1b，

∴(a−b)(1−1ab)=0，

因为a>b>0，所以ab=1，

则1b2+14.【正确答案】13【分析】本题主要考查了棱锥的体积，熟记公式即可.设△ABC所在小圆圆心为O1，半径为r，∠BAO解：设△ABC所在小圆圆心为O1，半径为r，∠BAO1=θ，

则AB=2rcosθ，所以△ABC的面积为12(2rcosθ)2sin2θ=2r2cos2θsin2θ=4r2cos3θsinθ，

(当r固定时，△ABC的面积只与θ有关)

设g(θ)=4r2cos3θsinθ，则g′(θ)=4r2(−3cos2θsin2θ+cos4θ)=4r2cos2θ(cos2θ−3sin215.【正确答案】解：(1)依题意，3cb=2sin(A+π3)=sinA+3cosA，即3c=bsinA+3bcosA，

由正弦定理可得，3sinC=sinBsinA+3sinBcosA，因为A+B+C=π，

所以3sin(A+B)=3sinAcosB+3cos本题考查了正余弦定理的运用，三角形面积公式，属于中档题.

(1)由正弦定理将边化为角，可求出tanB，再求角；

(2)由余弦定理和三角形的面积公式得a、c的方程组，求解即可得出△ABC的周长16.【正确答案】解：(1)因为AD//平面PBC，平面ABCD∩平面PBC=BC，AD⊂平面ABCD，

所以AD//BC，

又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PA⊥AC，则∠PCA是PC与平面ABCD所成的角，

所以∠PCA=45∘，所以AC=PA=2，

因为AC=2，BC=1，AB=3，

所以AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，所以AB⊥AD，

因为PA∩AB=A，PA⊥AD，AD⊥AB，PA，AB⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB;

(2)因为AB，AD，AP两两互相垂直，因此以{AB,AD,AP}为正交基底，建立空间直角坐标系A−xyz，

A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).

因此PC=(3,1,−2)，DC=(3,−1,0)，AC=(3,1,0)，AP=(0,0,2)，

设平面PCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1本题考查了线面垂直的判定，二面角的应用，平面与平面所成角的向量求法，属中档题.

(1)证出PA⊥AD、AB⊥AD即可证得AD⊥平面PAB;

(2)以{AB,AD,17.【正确答案】解：(1)由题意可得：e=1−b2a2=12，所以b2a2=34，

又由点(1,32)在椭圆C上，有1a2+94b2=1，解得a2=4，b2=3，

所以椭圆C的方程为：x24+y23=1；

(2)设直线AB的方程为：y=kx+m，

依题意，有|m|1+k2=本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，属于中档题.

(1)根据离心率和点在椭圆上求得a和b，即可得椭圆的标准方程；

(2)设直线AB的方程为：y=kx+m，根据直线与圆相切可得|m|1+k2=127，即12k2=7m18.【正确答案】解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx，则f′(x)=1+lnx，令f′(x)=0，解得x=1e，

当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的极小值为f(1e)=−1e，无极大值;

(2)f′(x)=lnx−a+x−ax，依题意，f′(x)=lnx−a+x−ax≥0恒成立，

所以f′(1e2)=−2+1−a−e2a≥0，故a≤−1e2+1，因为a∈Z，所以a≤−1，

当a=−1时，f′(x)=lnx+1x+2，设g(x)=lnx+1x+2，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)≥g(1)=3>0，所以a=−1满足题意，即a的最大值为−1;

(3)当a>0时，易知f′(x)=lnx−a本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于难题.

(1)求出函数的单调性即可；

(2)利用f′(x)=lnx−a+x−ax≥0恒成立即可；

(3)f(x0)=(x019.【正确答案】(1)解：由题可知a1a2=2，a1a3=4，a1a4=8，a2a3=8，a2a4=16，a3a4=32.

所以S4=