向量法在中学中的应用

向量法在中学中的应用关键词向量法解题；数形结合；几何；代数；三角函数 11绪论 21.1向量的起源与发展综述 21.2向量解题研究的现状 32向量解题和解题研究 52.1向量的基本概念及运算 52.2问题解决 62.3向量解题的意义 73向量法在中学几何中的应用 73.1用向量数量积来解决几何问题 83.2通过建立空间直角坐标系来解决几何问题 93.3利用法向量求解几何中的线面角、面面角问题 4向量法在中学代数中的应用 4.1向量在代数中的应用 4.2等式及不等式的证明以及求最值问题 4.3求变量的取值范围 5平面向量与三角函数 5.1相关概念 5.2通过构造向量法解决三角函数问题 5.3平面向量与三角函数融合命题 约公元前350年，亚里士多德，古希腊一位学者，指出向量能够用于表示力，根作为近代物理学之父，最早提出向量能够通过有向线段得到表示。从19世纪末期开始到20世纪初期，向量已经得到了迅猛发展，已有运算通性极为成熟的数几何表示。18世纪末期，复数首次通过坐标平面中存在的某个点得到表示，表示形式为：a+bi。威赛尔，挪威的一名测量学家，首次提出了该种表示法，他用相关运算体系才能让问题得到解决。汉密尔顿，英国的一位数学家，于19世纪中期发明了四元数，四元数的出现打破了这个僵局1.2向量解题研究的现状1.2.1向量法解题的价值研究根据张奠宙、沈文选等人对于向量法解题价值研究的讨论，他们得出结论：1.2.2向量法解题的技巧及应用方法研究体现。为此，他们强调，向量法用于问题的解决时，有四种工具可以得到应用，同时详细地分析了解题思路以及基本技巧3]。这4个工具分别是：(1)向量与向量相加时遵循的“首尾相连法则”,即AB+BC=AC。(2)“向量数乘”线关系的一个向量，就应当立刻想到“数乘向量”,也就是用一个数乘以一个向量。(3)向量内积，即众所周知的“数量积”,我们需要熟记的是，如果两向量之间存在的是垂直关系，那么它们的内积就是等于0的。(4)平面向量基本结并提出，通过向量线性关系可让这些问题得到解决5,2向量解题和解题研究2.1.1向量的有关概念2.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行。(要注意其与0的区别)3.单位向量：模长等于1的向量。4.平行向量(也就是共线向量):方向相反或者是相同的两个非零向量。只要一组向量之间是平行的，那么通过平移处理后均可至同一反但是模长一致的向量称之为a的相反向量，用-a来表示。2.1.2向量加法2.1.3向量的减法1.相反向量：指的是和a方向相反但是模长相等的向量。记作-a,那么对于零向a-b的作图法：在这两个向量的起点一致的情况下，a-b能够用以b的终点为2.1.4实数与向量的积1.用一个实数λ乘以一个向量a得到的还是一个向量，用λa来表示，它的长度与方向规定如下：(2)当λ>0时，Aa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0,方向是任意的。2.数乘向量符合下述运算律：其一交换律，其二分配率，其三结合律。实数与向量的积的运算律：设2、μ为实数，则2.1.5向量有关定理1.两向量共线定理：向量b和非零向量a共线⇔只存在一个实数λ,可以使得b=λa成立。2.平面向量基本定理：假使e,e₂是同一平面中的两个不存在共线关系的向量，那么任取该平面的一个向量a,只能找到一对实数2,22可以使得a=λe+Ze₂成立，这时e,e₂就称之为一组基底。表示这一平面内的所有向量。2.2.1数学问题解决的涵义问题解决：其内涵在于思考，目标是某个问题，展开的是定向心理过程，是心理活动中的一种。它是人们在日常的工作生活中，遇到从没有遇到过的问题，并且用自己原有的经验无法解决这个问题时。引发出的心理上急于处理这项问题的紧张感，在短时间内寻求新的解决策略。数学问题解决，也可以简称为解题。“解题指的是将题归为已解的题的范畴内”[12]。。而对于数学问题来说，解题人首先应该将所给条件读通、读懂，而后根据该条件对问题本身的特点展开分析，根据所学的各种知识对文字语言进行转化，得到数学符号，以得到这道题所需求的数学结果，最后从具体问题出发，求解得到最终答案。2.2.2数学问题解决方法的涵义数学问题解决方法：“问题的条件”是解决方法的敲门砖，要先把一个问题所给的条件弄明白，才能开始解决它。中间就是运用我们所积累的知识，进行实际操练的过程，即需要进行一系列的运算。也可以将这一中间过程比喻为架起一座桥梁。这座桥梁为：看懂条件→制定计划→实际操作→回顾过程。以上涵义实际上是从《怎样解题》(波利亚)[13]中总结得出的。其中“看懂条件”,是指解决问题前要先把题目捋顺，把条件弄懂，不能一拿到题就开始盲目下手。“制定计划”是指，在正式答题前，先在头脑中和草稿纸上将可能用到的公式、知识点等过一遍。“实际操作”是指，将条件带入预设好的方法中，进行实际运算解答。“回顾过程”既是对解题过程的一种再现，又可以起到“验证”的作用，体现出严谨的数学逻辑思维。向量法：首先还是需要先抓住问题的“条件”,仔细分析该问题与“向量”有何相关之处。找到相关点后，就将问题进行“向量化”的转化，运用一系列向量的方法求解。最后回到原问题中，得出答案，达到最终的求解目的。向量法解题是按照下述步骤来展开的：第一步，分析实际问题；第二步，提取得到数学问题；第三步，转化成向量问题；第四步：得出结果。2.3向量解题的意义关于掌握数学意味着什么,美国著名学者波利亚认为。我们要培养善于解题的能力，而这些题不仅是那些标准的常规题，更要善于解一些需要一定思考的、一些自己独到见解的、新颖有创造性的题目。一个有趣的现象，许多在某个领域中有杰出贡献的人，他们有一个共同特征：就是都具有超群的数学能力，善于解决各种数学问题。我们该如何教会学生独立思考问题?该通过什么方式方法去培养学生的数学能力?“解题”就是最实用的方法之一。首先，解题的过程就是学生去独立认知的过程。通过这个过程，学生能学习到一定的数学本质精神，掌握一定的数学解题技巧。其次，解的题越多，学生脑中对数学知识的建构就越具体、越完善。再者，解题的过程需要大脑的高速运转，是培养学生各种能力的有力法宝[14]。作为一种数学模型，向量是对现实世界进行的刻画。在物理中我们最熟悉的矢量：力、速度、位移等。实际生活中到处都充斥着实际背景，均可通过向量得到刻画并进行描述。向量解题，可以让学生意识到数学和生活之间是密切相关的，发现很多问题都是从现实生活中提炼出来的，我们所解的每道题在生活中都有例可循。能够积极引导学生发展各项运算、推理能力，自主建构知识框架。从而达到育人的目的。3.1.1用向量解决立体几何问题3.1.2利用向量的数量积解决问题3.1.3例题及解析线段DD'⊥α,∠DBD'=30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.所以D²=CA+AB+BD² =C²+AB'+Bo'+2CA·AB+C例3:如图3-3,M、N分别是棱长为1的正方立体图形ABCD-A'B'CD的棱BB'、B'C的中点.请求出异面直线MN与CD'所成的角.3.1.4小结3.2.1将立体几何问题“向量化”的途径3.2.2例题及解析证明：这里假设正方体的棱长等于1且设DA=i,DC=j,DD₁=k.所以D₁F⊥平面ADE.证明：如图3-5所示，我们把点0当作原点，把OA这条有向线段作为正z轴，建BD=(x,y,z)。 1.法向量的具体定义如下：向量a表示的是一个有向线段，假使其所在直线与3.3.1法向量的定义向量a就叫作平面α的法向量。利用法向量：可以巧妙解决空间角度问题。距离3.3.2用法向量求解线面角、面面角有一条直线AB和一个平面α,它们之间形成了一个角θ。该角还能够理解为AB代表的向量与α的法向量n之间的夹角的余角。这时线面角的求解就转化成了线线角的求解，即求表示直线的这个向量和这个平面法向量的夹角。对于两个向量来说，它们形成的夹角的余弦可通过下述公式求解得出：这样就可推导得到下述公式：3.3.3如何利用向量求解空间距离1.两异面直线的距离。可以转化为：与这两者都相交的线段。在其公垂向量上的投影长度。2.点与平面之间的距离。可以转化为：过这点的平面的斜线。以平面法向量为基准，得到的投影长度。3.3.4例题及解析 所以，直线OF和平面DEF之间形成了夹角，其正弦值等于4.1向量在代数中的应用向量法解题的优点在于运算比较简单，方法较为新颖，学生思维能够4.2.1相关概念介绍(1a-b=|d引。(当a,b同向时取等号)(3)取等号的，在a,b方向相反的情况下，不等式左边应当是取等号的。4.2.2例题及解析分析：如果令m=(x,y,z),n=(a,b,c)那么本题就转可以得出m//n因此只要证实m//n就可行了。解：(1)令a=(x,y),b=(1,1),则a·b=x+y,(2)令a=(x+2,y),b=(2,-1),2x-y=t,y=1a+5≥la+6|=√3²+(2+3)4.3.1常用方法介绍4.3.2例题及解析代入上式得-3k+3²±¹=0=5平面向量与三角函数存在的“数量关系”,综合三角函数有关知识来解答。5.2.1常用解法,,5.2.2例题及解析例1.求函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最值。解：原式可化为y=2+sin2x+cos2x,令z=sin2x+cos2x,构造向量a=(sin2x,cos2x),b=(1,1),所以y=2+√2y=2-25.3.1经典例题例1.已知向量)(2a-c)cosB=bcosC,试求f(A)的取值区间。(1)因为m·n=1,所!所!(2)记f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.6结论结，只有这样向量法本身具有的价值才能得到挖掘，[3]张景中，彭翕成.论向量法解几何问题的基本思路(续)[J].数学通报，2008,47(002):31-36.[5]张定强等.向量法在研究几何问题中的作用探讨[J].数学通讯，2009,(09):[6]黄生顺.平面法向量在立体几何中的应用[J].中学数学，2011,(13):67-70.[7]田宝运等.向量法解高考解析几