二重积分的计算

二重积分的计算二重积分的计算第一节讨论了二重积分的概念，按照二重积分的定义来计算二重积分对少数特别简单的情况是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来说，这不是一种切实有效的方法.为此，我们首先对曲顶柱体的体积进行分析，从而导出二重积分的计算方法，即把二重积分化为两次定积分来计算，这种方法称之为累次积分法.一、在直角坐标系下计算二重积分利用二次积分计算二重积分1.先介绍X—型区域和Y—型区域.如果区域D是由直线x=a,x=b与曲线y=φ1(x),y=φ2(x)所围成的(见图9-5),即D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，其中函数φ1(x)，φ2(x)在区间［a,b］上连续，那么此区域称为X—区域.这种区域的特点是：穿过内部且平行于y的直线与区域的边界相交不多于两点.图9-5一、在直角坐标系下计算二重积分类似地，如果区域D={(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}，其中函数ψ1(y)，ψ2(y)在区间［c,d］上连续，那么此区域称为Y—型区域(见图9-6).这种区域的特点是：穿过内部且平行于x的直线与区域的边界相交不多于两点.图9-6一、在直角坐标系下计算二重积分假设积分区域为X—型区域，即D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，根据二重积分的几何意义，当f(x,y)≥0时，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体(见图9-7)的体积.下面利用第六章中计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来求这个曲顶柱体的体积.图9-7一、在直角坐标系下计算二重积分在区间a,b上任意取定一点x0，过x0作垂直于x轴的平面x=x

0与曲顶柱体相交，截面是一个以区间［φ1(x0),φ2(x0)］为底，曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，因此，该截面的面积由于x0的任意性，过区间a,b上任意一点x，且垂直于x轴的平面与曲顶柱体相交得到的截面面积为一、在直角坐标系下计算二重积分(9-2)由此可见，计算二重积分，可以化为计算两次定积分，故又称为二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分类似地,若区域D为Y—型区域,即D=x,yψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d,则有(9-3)一、在直角坐标系下计算二重积分如果积分区域既不是X—型区域，又不是Y—型区域，则可把D分成几部分(见图9-8)，使每个部分是X—型区域或是Y—型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质2，它们的和就是在D上的二重积分.图9-8一、在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分的步骤是：(1)画出积分区域D的图形，判断是X—型还是Y—型区域.(2)确定二次积分的上、下限.若D为X—型区域，则固定x后，过点x从下至上作y轴的平行线与区域D相交，该平行线与区域D的下方边界的交点(即穿入点)的纵坐标值φ1(x)为积分下限；而该平行线与区域D的上方边界的交点(即穿出点)的纵坐标值φ2(x)为积分上限.如果区域D的下方边界(或上方边界)不是由一个函数表达式表示，则需将区域D分成若干小区域，使每一小区域的下方边界(或上方边界)都由一个函数表达式表示.类似地，可以确定Y—型区域的二次积分的上下限.(3)用式(9-2)或式(9-3)化二重积分为二次积分.(4)计算二次积分的值.一、在直角坐标系下计算二重积分【例4】图9-9一、在直角坐标系下计算二重积分解法2如图9-10所示，也可把D看成是Y—型区域，即D可用不等式1≤y≤2,y≤x≤2来表示.图9-10一、在直角坐标系下计算二重积分【例5】图9-11一、在直角坐标系下计算二重积分【例7】图9-12一、在直角坐标系下计算二重积分【例8】一、在直角坐标系下计算二重积分图9-13一、在直角坐标系下计算二重积分【例9】图9-14一、在直角坐标系下计算二重积分若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2，显然此式计算起来要麻烦得多(请读者自己完成).由此可见，选择合适的积分次序，对于计算二重积分是至关重要的.一、在直角坐标系下计算二重积分【例10】图9-15计算二重积分D3xydxdy，其中区域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所围成的第一象限的图形，如图9-15所示.一、在直角坐标系下计算二重积分一、在直角坐标系下计算二重积分【例11】图9-16一、在直角坐标系下计算二重积分利用对称性计算二重积分2.利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会化简二重积分的计算.有关对称性的结论为：(1)二重积分的奇偶对称性.设函数f(x,y)在闭区域D上连续，若闭区域D关于y轴对称，则一、在直角坐标系下计算二重积分一、在直角坐标系下计算二重积分(2)二重积分的轮换对称性.设函数f(x,y)在闭区域D上连续，若闭区域D中将x与y互换后，一、在直角坐标系下计算二重积分【例12】一、在直角坐标系下计算二重积分(2)用曲线y=－x3将积分域D分成D1和D2两部分(见图9-17).显然D1关于y轴对称，函数φ(x,y)关于x是奇函数；D2关于x轴对称，函数φ(x,y)关于y是奇函数.故图9-17一、在直角坐标系下计算二重积分二、在极坐标下计算二重积分有些积分在直角坐标系下计算很困难，而积分区域边界线用极坐标表示较为简单.如本章开头所提出的关于球的体积的计算公式推导，学习了定积分的几何意义以后，我们已经知道球的体积V=2DR2－x2－y2dσ，其中D:x2+y2≤R2，该二重积分在直角坐标系下计算极为麻烦(有兴趣的读者不妨试试)，而在极坐标系下计算就很简单，为此我们推导极坐标系下二重积分的计算.二、在极坐标下计算二重积分在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极坐标(r,θ)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为

x=rcosθ，y=rsinθ,

其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π.下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式.二、在极坐标下计算二重积分设函数f(x,y)在区域D上连续，区域D的边界曲线如图9-18所示，

r=r1(θ)，r=r2(θ)(α≤θ≤β)，又设r1(θ)与r2(θ)在［α,β］上连续.图9-18二、在极坐标下计算二重积分在直角坐标系中，我们用平行于x轴与y轴的两簇直线划分区域D为一系列小矩形，与此类似，在极坐标系中我们用一簇r为常数的同心圆和θ为常数的过极点的一簇射线束作划分.将极角分别为θ与θ+Δθ的两条射线和半径分别为r与r+Δr的两条圆弧所围成的小区域记作Δσ，则(9-4)二、在极坐标下计算二重积分计算极坐标下的二重积分，也要化为累次积分.我们按下面三种情况予以说明.(1)极点O在区域D之外的情况，如图9-19所示.这时区域D可表示为D={(r,θ)|α≤θ≤β,r1(θ)≤r≤r2(θ)}图9-19二、在极坐标下计算二重积分(2)极点O在区域D的边界上，如图9-20所示.这时区域D可表示为

D={(r,θ)|α≤θ≤β,0≤r≤r(θ)}，于是图9-20二、在极坐标下计算二重积分(3)极点O在区域D的内部，如图9-21(a)所示.这时区域D可表示为

D={(r,θ)|0≤θ≤2π,0≤r≤r(θ)}，于是二、在极坐标下计算二重积分图9-21二、在极坐标下计算二重积分二、在极坐标下计算二重积分当区域D是圆或圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示较为简单，或者被积函数为

等形式时，一般采用极坐标计算二重积分较为方便.注二、在极坐标下计算二重积分【例13】注二、在极坐标下计算二重积分【例14】图9-22二、在极坐标下计算二重积分二、在极坐标下计算二重积分【例15】二、在极坐标下计算二重积分【例16】图9-23二、在极坐标下计算二重积分二、在极坐标下计算二重积分【例17】二、在极坐标下计算二重积分图9-24二、在极坐标下计算二重积分【例18】图9-25计算二重积分