周期函数的傅里叶级数

周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数前面介绍了函数展开为幂级数的条件及幂级数的应用，从中可看出，幂级数无论在理论上还是实际上都具有重要的作用,但它有两个比较苛刻的条件，一是要求函数具有任意阶导数，二是级数的部分和只在某一点的附近才与函数有较为理想的近似,而实际问题中的函数往往比这条件要弱得多(不可导，不连续)，因此在实际应用中幂级数受到较大的限制.如何找到展开条件较弱且更为简单的函数来代替幂级数？这是摆在当时许多数学家面前的一个难题.直到18世纪中叶，法国数学家傅里叶在研究热传导和扩散问题时，发现了周期函数可用一系列正弦函数Ansin(nωt+φn)组成的级数来表示,这个表示比幂级数展开的条件要弱得多，且它的部分和在连续点与函数吻合得非常理想.因此,傅里叶级数比幂级数在工程中的应用更加广泛.周期函数的傅里叶级数一、三角函数系的正交性函数系1,cosx,sinx，cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…(11-5)

称为三角函数系.三角函数系(11-5)中任意两个相异函数的乘积在区间［π,π］上的积分等于零，即∫π－πcosnxdx=0(n=1,2,3,…),∫π－πsinnxdx=0(n=1,2,3,…),∫π－πsinkxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,…),∫π－πcoskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,…;k≠n),∫π－πsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,…;k≠n).这个性质为三角函数系的正交性.一、三角函数系的正交性在三角函数系(11-5)中，两个相同函数的乘积在区间－π,π］上的积分不等于零，即∫π－π1dx=2π，∫π－πsin2nxdx=π(n=1,2,3,…)，∫π－πcos2nxdx=π(n=1,2,3,…).二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数首先讨论第一个问题：假定f(x)能展成三角级数(11-4)，如何求出系数an,bn?假定f(x)以2π为周期，且能展成逐项可积的三角级数(11-6)二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数这个级数称为余弦级数.二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数一个定义在(-∞，+∞)上周期为2π的函数f(x)，若它在一个周期上可积，则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.但是，函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数f(x)？一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的.再讨论第二个问题：三角级数(11-4)在什么条件下收敛于f(x)？这个问题直到1829年才由狄利克雷完全解决.二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数定理11(收敛定理，狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2π的周期函数.若f(x)满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x).(2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数实际上，不论x是函数f(x)的连续点还是间断点，函数f(x)的傅里叶级数均收敛于该点处函数的左、右极限的算术平均值.因为当x是函数f(x)的连续点时，有二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数【例47】设f(x)是周期为2π的周期函数，它在(－π,π］上的表达式为二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数【例49】设f(x)是周期为2π的周期函数，将函数f(x)=x(－π≤x＜π)展开成傅里叶级数.三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数

上面所讨论的都是以2π为周期的函数展开成傅里叶级数的问题，如果函数以2l为周期，又如何展开成傅里叶级数呢？下面的定理回答了这个问题.三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数定理12设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数【例51】三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式在电子技术中，常常使用傅里叶级数的复数形式.设周期为2l的周期函数的傅里叶级数为(11-8)四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式四、以2l为周期的函数展