2019届北京专用高考数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质讲义理

第四节直线、平面垂直的判定与性质总纲目录教材研读1.直线与平面垂直考点突破2.直线与平面所成的角3.二面角的有关概念考点二平面与平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质4.平面与平面垂直的判定定理考点三平行与垂直的综合问题教材研读1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的①

任意一条

直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的

锐角

,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所

成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0°的角.如图所示,

∠PAO

就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈

.3.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的

两个半平面

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分

别作

垂直于棱

的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直的判定定理1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则

()A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥nC答案

C对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平

行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故选C.2.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系为()A.b⊂α

B.b∥αC.b⊂α或b∥α

D.b与α相交C答案

C由a⊥b,a⊥α知b⊂α或b∥α,但直线b不与平面α相交.3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与

B1O垂直的是

()

A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1

D答案

D易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.4.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是

垂直

.答案垂直解析由线面平行的性质定理知,若一直线平行于一平面,则该面内必

有一直线与已知直线平行,再根据“两平行线中一条垂直于一平面,另

一条也垂直于该平面”得出结论.5.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为

4

.

答案4解析题图中直角三角形为△PAC、△PAB、△BCA、△BCP,故直角

三角形的个数为4.考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD内的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.方法技巧证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂

直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线与另一个

平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.1-1

S是Rt△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥面SAC.证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,

在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点,∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,∴AB⊥面SDE.又SD⊂面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,由(1)知,SD⊥面ABC,又BD⊂面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.典例2如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥

AB,AB=2,BC=EF=1,∠BAD=60°,G为BC的中点.(1)求证:FG∥平面BED;(2)求证:平面BED⊥平面AED.

考点二平面与平面垂直的判定与性质证明(1)取BD的中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因为G是BC的中点,所

以OG∥DC且OG=

DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,EF=1,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,所以FG∥平面BED.

(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=

,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,平

面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED,所

以平面BED⊥平面AED.方法技巧面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面

角,将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个

平面的一条垂线,进而把问题转化成证明线线垂直加以解决.2-1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4

,AB=2CD=8.

(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.解析(1)证明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4

,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过点P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=4×

=2

.在Rt△ADB中,斜边AB上的高为

=2

,此即为梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=

×2

=12

.∴VP-ABCD=

×12

×2

=24.

考点三平行与垂直的综合问题命题方向一平行与垂直关系的证明典例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在

侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB∥平面SCD;(2)求证:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

命题方向二平行与垂直关系中的探索性问题解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)证明:因为AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因为SN⊂平面SAD,所以AB⊥SN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SN⊥AD.又因为AB∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.(3)在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在△SNC中,过F作FP∥SN,交SC于点P,

连接PB,PD.

因为SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因为ND∥BC,且N为AD的中点,所以

=

=

.在△SNC中,因为FP∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此时

=

.方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存

在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识取点.(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后

变与不变的数量关系及位置关系.3-1如图,在四棱锥P-AB