6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例随堂练习【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精-品课件+分层练习人教A版2019必修第二册（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例一、单选题1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在中，，，即，则为直角三角形，故选：B.2．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（

）A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上【答案】D【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上.【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．故选：D．3．若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】令，再利用余弦定理得解.【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，由余弦定理可得，所以角为直角.故是直角三角形．故选：B．4．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理求解即可【详解】因为，故，由正弦定理，，故m故选：D5．一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解.【详解】解：由题意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入数据得.故选：C.6．已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则△的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角差的正弦公式求出，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】，则，故选：.7．为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（

）A．100m B． C． D．200m【答案】A【分析】根据画出图形，设，结合条件可得，，然后根据余弦定理即得.【详解】设，则，，∴，在中，由余弦定理可得，∴，∴(负值舍去)，即直塔AB的高为100m.故选：A.8．在中，若，且，则是（

）.A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，整理得，则，因为，所以，又由，得化简得，所以为等边三角形，故选：B二、多选题9．某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，这时他离出发点，那么的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】如图，由条件可知，，，，，根据余弦定理可知，即，解得：或故选：AB10．在中，下列命题正确的是（

）A．是的充分不必要条件B．若，则是等腰三角形C．若，，则是等边三角形D．若，则【答案】BCD【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用正弦定理边角互化求出的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，，所以，是的充要条件，A错；对于B选项，由可得，可得，所以，为等腰三角形，B对；对于C选项，由余弦定理可得，可得，所以，为等边三角形，C对；对于D选项，由及正弦定理可得，所以，，，，则，所以，，则，因此，，D对.故选：BCD.三、填空题11．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．【答案】【分析】由余弦定理求得后可得速度．【详解】由题意可知，AB＝300m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（m/s），故答案为：．12．在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．【答案】或【分析】由三角形面积公式进行求解即可.【详解】∵的面积，∴，∵，∴或．故答案为：或.13．已知△ABC的三边长互不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝1，acosA＝bcosB，则a+b的取值范围是_____.【答案】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，结合正弦定理以及三角恒等变换以及三角函数取值范围的求法求得正确答案.【详解】依题意，则为锐角，，由正弦定理得，由于，所以或，所以（舍去）或，，所以，，且，,所以的取值范围是.故答案为：14．某人在C点测得某直塔在南偏西，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进到D，测得塔顶A的仰角为，D，C与塔底O在同一水平面上，则塔高为______________．【答案】【分析】作出图形，设出塔高，表达出，，在中，使用余弦定理求出，得到答案.【详解】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为，在中，，则，在中，，则，在中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）．故答案为：10m.四、解答题15．如图，在中，的垂直平分线交边于点．（1）求的长；（2）若，求的值．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的长；（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值【详解】解：（1）在中，，整理得，即，所以或．（2）因为，由（1）得，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，得．在中，由正弦定理得，即，所以．16．如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线，该曲线段为函数（，，）的图像，且图像的最高点为．赛道的后一段为折线段，为保证参赛队员的安全，限定．(1)求实数和的值以及、两点之间的距离；(2)连接，设，，试求出用表示的解析式；并求出的最大值．【答案】(1)，，10km(2)，【分析】（1）结合函数图像和周期公式得到点的横坐标，并求出实数和的值，得到曲线段的函数解析式，进而求出点的坐标，进而求出、两点之间的距离.（2）利用几何知识求出的取值范围，利用正弦定理表达出和，得到的解析式