2019届江苏专用高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第二课时导数与函数的极值最值讲义理苏

§3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值课时作业题型分类深度剖析内容索引题型分类深度剖析题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1

(1)(2016·淮安模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是______.答案解析③由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点.(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是______.①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2).答案解析④由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.命题点2求函数的极值例2设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；解答令f′(x)＝－3x2＋3＝0，又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.得x1＝－1，x2＝1.(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.解答因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1.当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.如图2.综上，当a＝2或a＝－2时方程恰好有两个实数根.命题点3已知极值求参数例3

(1)若函数f(x)＝

在x＝1处取极值，则a＝____.答案解析又∵函数f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0.∴1＋2×1－a＝0，∴a＝3.验证知a＝3符合题意.3(2)(2016·南京学情调研)已知函数f(x)＝

x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为________.答案解析几何画板展示方法一令f′(x)＝x2＋2x－2a＝0，因为x1∉(1，2)，因此则需1<x2<2，方法二f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1，2)上是单调递增函数，(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.思维升华跟踪训练1(1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是______________.答案解析x＝1或－1或0∵f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0.当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0，1，－1都是f(x)的极值点.－3当x>0或x<－1时，y′>0；当－1<x<0时，y′<0.∴当x＝－1时，y取极大值－3.答案解析题型二用导数求函数的最值例4已知a∈R，函数f(x)＝

＋ln

x－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；解答即x－4y＋4ln2－4＝0.(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值.解答令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.②若0<a<e，则当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln

a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0<a<e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln

a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.思维升华跟踪训练2

设函数f(x)＝x3－

－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是___________.答案解析由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，题型三函数极值和最值的综合问题例5已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；解答当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值

↗极大值

↘故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.解答所以f(x)在[－1，1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝aln

x，当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.当a≤0时，f(x)≤0；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.思维升华[－3，0)答案解析几何画板展示由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，典例(16分)已知函数f(x)＝ln

x－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.思维点拨

利用导数求函数的最值答题模板系列3规范解答答题模板几何画板展示[2分]综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；又f(2)－f(1)＝ln2－a，当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln2－2a. [14分]综上可知，当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a. [16分]返回用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.返回课时作业123456789101112131.函数f(x)＝

x3－4x＋4的极大值为______.答案解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－2)＝.2.(2016·四川改编)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝_____.答案解析2∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.123456789101112133.若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.答案解析－71f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.123456789101112134.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_______________________.答案解析(－∞，－3)∪(6，＋∞)∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.∴a>6或a<－3.12345678910111213*5.(2016·扬州模拟)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，f(x)的极小值等于－115，则a的值是_____.答案解析212345678910111213由已知可得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由3ax2＋2bx＋c≤0的解集为{x|－2≤x≤3}可知a>0，且－2，3是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；12345678910111213当x∈(－2，3)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，123456789101112136.(2016·南京模拟)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln

x－ax(a>)，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a＝___.答案解析1由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.解得a＝1.123456789101112137.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝_____.答案解析18∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.123456789101112138.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是____________.答案解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，当－a<x<a时，f′(x)<0，函数递减；当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数递增.∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，由f′(x)＝0得x＝±a，123456789101112132可得f′(x)＝x2－2x－1，即f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)，12345678910111213答案解析10.(2016·南京模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.答案解析－4f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴对m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.1234567891011121311.已知函数f(x)＝xln

x.若对于任意x∈[，e]，不等式2f(x)≤－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为____________________.答案解析12345678910111213当x∈(1，e]时，h′(x)>0，h(x)单调递增.123456789101112131234567891011121312.设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6).(1)确定a的值；解答因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，1