2025版高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时等差数列的概念与通项公式A级基础巩固一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(B)A．－1 B．0C．1 D．6[解析]依据题意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.2．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第________项(B)A．60 B．61C．62 D．63[解析]设公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝21,d＝3)).∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.3．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝(C)A．11 B．12C．13 D．14[解析]设公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7,a1＋d＋6＝a1＋4d))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝2)).∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.4．等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，则数列{an}的公差为(B)A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)[解析]设公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4,a1＋4d＝10))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2,d＝2)).5．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋126．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(C)A．a＝－b B．a＝3bC．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0[解析]由等差中项的定义知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝(eq\f(a＋b,2))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.二、填空题7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝__－2n＋3__.[解析]设公差为d，由题意，得a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__eq\f(67,66)__升．[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答题9．(2024·吉林汪清六中高二月考)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．[解析]设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则3a＝9，∴a∴这三个数分别为3－d,3,3＋d.由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.∴这三个数分别为4,3,2.10．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，求bn及b15.[解析]设等差数列{an}的公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝6,a5＝a1＋4d＝15))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝3)).∴an＝3＋3(n－1)＝3n.∴bn＝a2n＝3×2n＝6n.∴b15＝6×15＝90.B级素养提升一、选择题1．在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差数列，则a4等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]解法一：设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差为d，则eq\f(1,a6＋1)－eq\f(1,a2＋1)＝4d，代入数据可得d＝eq\f(1,6).因此eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋2d＝eq\f(2,3).故a4＝eq\f(1,2)，选A．解法二：由等差中项的性质可知，2·eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋eq\f(1,a6＋1)，解得a2＝eq\f(1,2).故选A．2．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则eq\f(d1,d2)等于(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[解析]由题意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，∴d1＝eq\f(b－a,3)，d2＝eq\f(b－a,4)，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(b－a,3)·eq\f(4,b－a)＝eq\f(4,3).3．等差数列的首项为eq\f(1,25)，且从第10项起先为比1大的项，则公差d的取值范围是(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满意bn＝eq\f(an,an＋1).若对随意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是(B)A．(－8，－6) B．(－7，－6)C．(－6，－5) D．(6,7)[解析]∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1.∴bn＝eq\f(an,an＋1)＝1－eq\f(1,n＋a).又∵对随意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知eq\f(1,6＋a)≤eq\f(1,n＋a)，则必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，∴－7<a<－6.故选B．二、填空题5．一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则eq\f(a,b)＝__eq\f(1,3)__.[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b,2b＝3x))，∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).6．已知数列{an}满意an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为__an＝2n－1__.[解析]由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．∴数列{an}是等差数列．又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.三、解答题7．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列{eq\f(1,xn)}是等差数列，并求x95的值．[解析]因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以数列{eq\f(1,xn)}是以3为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).8．是否存在数列{an}(an≠0)同时满意下列条件：(1){an}是等差数列且公差不为0；(2)数列{eq\f(1,an)}也是等差数列．[解析]设符合条件的数列{an}存在，其首项为a1，公差d≠