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文档简介
…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页,总=sectionpages22页第=page11页,总=sectionpages11页2025年人民版高二数学上册阶段测试试卷54考试试卷考试范围:全部知识点;考试时间:120分钟学校:______姓名:______班级:______考号:______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题,共12分)1、关于的不等式的解集是则关于的不等式的解为()A.B.C.D.2、集合则()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}3、函数在[1,2]的最大值和最小值分别是()A.1B.1,0C.D.1,4、【题文】设是各项为正数的无穷数列,是边长为的矩形面积(),则为等比数列的充要条件为A.是等比数列。B.或是等比数列。C.和均是等比数列。D.和均是等比数列,且公比相同。5、【题文】若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则()A.3B.2C.D.6、已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为1,则BC1与DB1的距离为()A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题,共14分)7、在Rt△ABC中,AB=AC=1,如果椭圆经过A,B两点,它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上,则这个椭圆的离心率为____.8、以下是关于圆锥曲线的四个命题:
①设A;B为两个定点;k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹是双曲线;
②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③双曲线与椭圆有相同的焦点;
④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆;则该圆与抛物线的准线相切.
其中真命题为____(写出所以真命题的序号).9、在ABC中,已知则____.10、观察下列式子:,根据以上式子可以猜想:.11、【题文】设为____12、【题文】若不等式的解集为则实数的值为_____________.13、某科室派出4
名调研员到3
个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为______.评卷人得分三、作图题(共9题,共18分)14、著名的“将军饮马”问题:有一位将军骑着马要从A地走到B地;但途中要到水边喂马喝一次水,则将军怎样走最近?
15、A是锐角MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.(如图所示)16、已知,A,B在直线l的两侧,在l上求一点,使得PA+PB最小.(如图所示)17、著名的“将军饮马”问题:有一位将军骑着马要从A地走到B地;但途中要到水边喂马喝一次水,则将军怎样走最近?
18、A是锐角MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.(如图所示)19、已知,A,B在直线l的两侧,在l上求一点,使得PA+PB最小.(如图所示)20、分别画一个三棱锥和一个四棱台.评卷人得分四、解答题(共3题,共12分)21、为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:。男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?22、【题文】已知矩阵.
(1)求的逆矩阵
(2)求矩阵的特征值和对应的特征向量.23、某校高2010
级数学培优学习小组有男生3
人女生2
人;这5
人站成一排留影.
(1)
求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种?
(2)
求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?
(3)
求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种?评卷人得分五、计算题(共2题,共10分)24、如图,已知正方形ABCD的边长是8,点E在BC边上,且CE=2,点P是对角线BD上的一个动点,求PE+PC的最小值.25、在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),求f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)的值.评卷人得分六、综合题(共3题,共21分)26、如图,在直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过AB,C三点的抛物的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;
(3)以点A为圆心;以AD为半径作⊙A.
①证明:当AD+CD最小时;直线BD与⊙A相切;
②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标:____.27、(2015·安徽)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足=2直线OM的斜率为28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S6=51,a5=13.参考答案一、选择题(共6题,共12分)1、B【分析】试题分析:本题要找出参数的关系或它们的值,这里可根据不等式的解集与方程的解的关系得出,不等式的解集是说明方程的解是1,且.这样不等式可化为从而得出结论为B.考点:解不等式.【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】试题分析:因为所以={1},故选B。考点:本题主要考查集合的运算。【解析】【答案】B.3、A【分析】【解析】试题分析:∵∴∴函数f(x)为定义域上的增函数,∴当x=1时,函数f(x)有最小值为f(1)=1,当x=2时,函数f(x)有最大值为f(2)=故选A考点:本题考查了导数的运用【解析】【答案】A4、D【分析】【解析】
试题分析:依题意可知Ai=ai•ai+1;
∴Ai+1=ai+1•ai+2;
若{An}为等比数列则=q(q为常数),则a1,a3,,a2n-1,和a2,a4,,a2n;均是等比数列,且公比均为q;
反之要想{An}为等比数列则需为常数,即需要a1,a3,,a2n-1,和a2,a4,,a2n;均是等比数列,且公比相等;
故{An}为等比数列的充要条件是a1,a3,,a2n-1,和a2,a4,,a2n;均是等比数列,且公比相同.
故选D
考点:本题主要考查充要条件的概念;等比数列的概念。
点评:此类问题,要既考查充分性,又要考查必要性,已作出准确判断。【解析】【答案】D5、C【分析】【解析】解:因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,说明w>0,然后利用选C【解析】【答案】C6、C【分析】【分析】
连交于作于又则是与的距离;是直角三角形直角边的中点.所以故选C二、填空题(共7题,共14分)7、略
【分析】
建立如图坐标系。
RT△ABC周长:4a;
4a=1+1+=2+则a=
记AB上的另一个焦点为D;
则AD=2a-AC=
在RT△ACD中,∠A=90°,AC=1,AD=
则2c=CD==
则c=
e==.
故答案为:.
【解析】【答案】画出图形;利用椭圆的定义,求出三角形的周长,得到a的值,利用三角形的是直角三角形与椭圆的定义,求出c的值,推出椭圆的离心率.
8、略
【分析】
①不正确.若动点P的轨迹为双曲线;则|k|要小于A;B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线.
②正确.方程2x2-5x+2=0的两根分别为和2,和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
③正确,双曲线有相同的焦点,焦点在x轴上,焦点坐标为(±0);
④正确;不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px(p>0);即抛物线位于Y轴的右侧,以X轴为对称轴.
设过焦点的弦为PQ;PQ的中点是M,M到准线的距离是d.
而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|.
又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=
由抛物线的定义可得:=半径.
所以圆心M到准线的距离等于半径;
所以圆与准线是相切.
故答案为:②③④
【解析】【答案】①不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离;②正确.方程2x2-5x+2=0的两根和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率;③正确,焦点在x轴上,焦点坐标为(±0).④通过抛物线的性质即可说明正误.
9、略
【分析】【解析】试题分析:由正弦定理得:考点:正弦定理。【解析】【答案】10、略
【分析】【解析】
因为根据已知关系式,可知,分母为项数,分子为项数的2倍减1,则那么猜想【解析】【答案】11、略
【分析】【解析】
试题分析:根据题意,由于当且仅当取得等号;故可知最小值为8.
考点:均值不等式的运用。
点评:主要是考查了均值不等式的运用,求解最值,属于基础题。【解析】【答案】812、略
【分析】【解析】解:因为不等式的解集【解析】【答案】-413、略
【分析】解:根据题意;分2
步进行分析:
垄脵
把4
名调研员分成3
组;一组2
人,其余两组各1
人,有C42=6
种分组方法;
垄脷
将分好的3
组对应三个学校;有A33=6
种情况;
则不同的分配方案有6隆脕6=36
种;
故答案为:36
.
根据题意;分2
步进行分析:垄脵
把4
名调研员分成3
组,一组2
人,其余两组各1
人,垄脷
将分好的3
组对应三个学校,分别求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的应用,注意要先分组,再排列.【解析】36
三、作图题(共9题,共18分)14、略
【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′,连接AB′,AB′与河面的交点C即为所求.【解析】【解答】解:作B点与河面的对称点B′;连接AB′,可得到马喝水的地方C;
如图所示;
由对称的性质可知AB′=AC+BC;
根据两点之间线段最短的性质可知;C点即为所求.
15、略
【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A',关于ON的A对称点A'',连接A'A'',根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值.【解析】【解答】解:作A关于OM的对称点A';关于ON的A对称点A'',与OM;ON相交于B、C,连接ABC即为所求三角形.
证明:∵A与A'关于OM对称;A与A″关于ON对称;
∴AB=A'B;AC=A''C;
于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A'';
根据两点之间线段最短,A'A''为△ABC的最小值.16、略
【分析】【分析】显然根据两点之间,线段最短,连接两点与直线的交点即为所求作的点.【解析】【解答】解:连接两点与直线的交点即为所求作的点P;
这样PA+PB最小;
理由是两点之间,线段最短.17、略
【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′,连接AB′,AB′与河面的交点C即为所求.【解析】【解答】解:作B点与河面的对称点B′;连接AB′,可得到马喝水的地方C;
如图所示;
由对称的性质可知AB′=AC+BC;
根据两点之间线段最短的性质可知;C点即为所求.
18、略
【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A',关于ON的A对称点A'',连接A'A'',根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值.【解析】【解答】解:作A关于OM的对称点A';关于ON的A对称点A'',与OM;ON相交于B、C,连接ABC即为所求三角形.
证明:∵A与A'关于OM对称;A与A″关于ON对称;
∴AB=A'B;AC=A''C;
于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A'';
根据两点之间线段最短,A'A''为△ABC的最小值.19、略
【分析】【分析】显然根据两点之间,线段最短,连接两点与直线的交点即为所求作的点.【解析】【解答】解:连接两点与直线的交点即为所求作的点P;
这样PA+PB最小;
理由是两点之间,线段最短.20、解:画三棱锥可分三步完成。
第一步:画底面﹣﹣画一个三角形;
第二步:确定顶点﹣﹣在底面外任一点;
第三步:画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点.
画四棱可分三步完成。
第一步:画一个四棱锥;
第二步:在四棱锥一条侧棱上取一点;从这点开始,顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段;
第三步:将多余线段擦去.
【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面,再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点,得到锥体,在画四棱台时,在四棱锥一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段,将多余线段擦去,得到图形.四、解答题(共3题,共12分)21、略
【分析】
(1)0.14;(2)所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.【解析】第一问中,利用表格中需要志愿者服务的老年人为70人,总数为500,则比例为0.14第二问中,利用公式结合表格中的概率值可以知道,能否有99%把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关【解析】
(1)0.144分(2)所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关12分【解析】【答案】22、略
【分析】【解析】
试题分析:(1)求的逆矩阵,首先求出相应的行列式的值,再根据逆矩阵的公式即可写出矩阵A的逆矩阵
(2)由矩阵的特征值的共式,即可求得的值.再由特征值与特征向量的关系即可求出相应的特征向量.
试题解析:(1)∴
(2)矩阵的特征多项式为
令得
当时,得当时,得
考点:1.逆矩阵的求法.2.特征向量与特征值.【解析】【答案】(1)(2)当时,得当时,得23、略
【分析】
(1)
根据题意甲乙两人必须相邻的站法;把甲乙捆绑成一个整体与其余3
人当着4
个人作全排列有A44
种,且甲;乙的位置还可以互换根据分步计数原理,得到结果.
(2)
除甲乙两人外其余3
人的排列数为A33
而甲乙二人应插其余3
人排好的空才不相邻;且甲;乙位置可以互换.
故有C42A22
种排列方式。
(3)
若甲站最右端;则乙与其余三人可任意排,则此时的排法数为A44
种;若甲不站最右端,则先从中间3
个位置中选一个给甲,再从除最右端的省余的3
个位置给乙,其余的三个人任意排,则此时的排法数为C31C31A33
种;
本题考查排列组合的实际应用,是一个排列问题,注意相邻问题的排法,有限制条件的元素,要优先考虑,本题是一个送分题目.【解析】解:(1)
把甲乙捆绑成一个整体与其余3
人当着4
个人作全排列有A44
种;
且甲;乙的位置还可以互换。
隆脿
不同站法有A44?A22=48
种.
(2)
除甲乙两人外其余3
人的排列数为A33
而甲乙二人应插其余3
人排好的空才不相邻;
且甲;乙位置可以互换.
故有C42A22
种排列方式.
隆脿
不同站法有A33?C42A22=72
种.
(3)
优先考虑甲:
若甲站最右端;则乙与其余三人可任意排,则此时的排法数为A44
种;
若甲不站最右端;则先从中间3
个位置中选一个给甲;
再从除最右端的省余的3
个位置给。
乙;其余的三个人任意排,则此时的排法数为C31C31A33
种;
隆脿
不同站法有A44+C31C31A33=78
种.五、计算题(共2题,共10分)24、略
【分析】【分析】要求PE+PC的最小值,PE,PC不能直接求,可考虑通过作辅助线转化PE,PC的值,从而找出其最小值求解.【解析】【解答】解:如图;连接AE;
因为点C关于BD的对称点为点A;
所以PE+PC=PE+AP;
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值;
∵正方形ABCD的边长为8cm;CE=2cm;
∴BE=6cm;
∴AE==10cm.
∴PE+PC的最小值是10cm.25、解:(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x3y0的系数是:C63C40=20.f(3,0)=20;含x2y1的系数是C62C41=60;f(2,1)=60;
含x1y2的系数是C61C42=36;f(1,2)=36;
含x0y3的系数是C60C43=4;f(0,3)=4;
∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0,x2y1,x1y2,x0y3,项的系数,求和即可.六、综合题(共3题,共21分)26、略
【分析】【分析】(1)由待定系数法可求得抛物线的解析式.
(2)连接BC;交直线l于点D,根据抛物线对称轴的性质,点B与点A关于直线l对称,∴AD=BD.
∴AD+CD=BD+CD;由“两点之间,线段最短”的原理可知:D在直线BC上AD+CD最短,所以D是直线l与直线BC的交点;
设出直线BC的解析式为y=kx+b;可用待定系数法求得BC直线的解析式,故可求得BC与直线l的交点D的坐标.
(3)由(2)可知,当AD+CD最短时,D在直线BC上,由于已知A,B,C,D四点坐标,根据线段之间的长度,可以求出△ABD是直角三角形,即BC与圆相切.由于AB⊥l,故由垂径定理知及切线长定理知,另一点D与现在的点D关于x轴对称,所以另一点D的坐标为(1,-2).【解析】【解答】解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).(1分)
将(0;3)代入上式,得3=a(0+1)(0-3).
解;得a=-1.(2分)∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3).
即y=-x2+2x+3.(3分)
(2)连接BC;交直线l于点D.
∵点B与点A关于直线l对称;
∴AD=BD.(4分)
∴AD+CD=BD+CD=BC.
由“两点之间;线段最短”的原理可知:
此时AD+CD最小;点D的位置即为所求.(5分)
设直线BC的解析式为y=kx+b;
由直线BC过点(3;0),(0,3);
得
解这个方程组,得
∴直线BC的解析式为y=-x+3.(6分)
由(1)知:对称轴l为;即x=1.
将x=1代入y=-x+3;得y=-1+3=2.
∴点D的坐标为(1;2).(7分)
说明:用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可;答案正确给(2分).
(3)①连接AD.设直线l与x轴的交点记为点E.
由(2)知:当AD+CD最小时;点D的坐标为(1,2).
∴DE=AE=
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