1.4-与三角形有关的角（2） 带解析-2023年升初二人教版暑假衔接教材

❊1.4与三角形有关的角（2）考点先知考点先知知识考点三角形外角的性质1.三角形的外角的概念2.三角形的外角的性质3.利用三角形的外角性质求角度4.与外角有关的模型题型精析题型精析知识点一三角形的外角知识点一三角形的外角内容三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.【注意】1.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；2.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；3.三角形的外角和等于360°．题型一三角形的外角的概念题型一三角形的外角的概念例1如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，请写出图中的外角__________；的外角有__________.例1【答案】∠DEC，∠ADE；∠BEA例2如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，作射线DE交AC于E，则△ABD例2（）A．∠ADEB．∠ADCC．∠EDCD．∠ACD【分析】根据三角形外角定义（三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角）作答．【解答】解：因为∠ADC是边AD与边BD的延长线组成的角，所以∠ADC是△ABD的外角．故选：B．例3如图，点B，G，C在直线上，点D在线段上，则下列是的外角的是（）例3A．B．C．D．【分析】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．根据外角定义先找出△ABD的外角，对各选项进行对比判断即可解：△ABD的外角是∠BDC选项C中∠CDB就是∠BDC，故选：C．变1如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是变1（）A．∠BCFB．∠CBEC．∠DBCD．∠BDF【分析】根据三角形的外角的定义得出即可．【解答】解：△ABD的一个外角是∠BDF，故选：D．变2如图，下列角中是△ACD的外角的是（）变2A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE【分析】根据三角形的外角的定义即可判断．【解答】解：三角形的一边与另一边的延长线的夹角是三角形的外角，图中∠ACB是△ACD的外角．故选：C．变3如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（）变3A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断．【解答】解：属于△ABC外角的有∠4共1个．故选：A．题型二三角形外角的性质题型二三角形外角的性质例1如图，已知△ABC，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，点D在边BC的延长线上，连接DE例1A．∠1＞∠2B．∠1＞∠3C．∠3＞∠5D．∠4＞∠5【分析】三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．【解答】解：A、∵∠3＞∠2，∠1＞∠3，∴∠1＞∠2，故本选项错误；B、∠1＞∠3，故本选项错误；C、∠3＞∠5，故本选项错误；D、不能比较∠4和∠5的大小，故本选项正确；故选：D．例2如图，已知点p是内的一点，连接并延长交于点，连接，给出下列结论：①；②；③，其中正确的为（）例2A．只有①B．只有②C．只有①②D．①②③【答案】D【分析】由三角形外角的性质可得、、和之间大小关系，即可得到答案．【详解】解：是的外角，，，故①正确；是的外角，，故②③正确；综上，①②③正确；故选：D．变1如图，在△ABC中，∠3是它的一个外角，E为边AC上一点，D在BC的延长上，则∠1、∠2、∠3之间的关系是（）变1A．∠3＞∠2＞∠1B．∠2＞∠3＞∠1 C．∠3=∠1+∠2D．∠1+∠2+∠3=180°【分析】根据三角形的外角性质得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠3是它的一个外角，∴∠3＞∠2，又∵∠2是△CDE的外角，∴∠2＞∠1，∴∠3＞∠2＞∠3；故选：A．变2如图，下列哪种说法不正确（）变2A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°-∠A C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B【分析】根据三角形的外角性质、三角形内角和定理判断即可．【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＜180°，本选项说法正确，不符合题意；B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本选项说法正确，不符合题意；C、∵∠ACD是△ACB的一个外角，∴∠B＜∠ACD，本选项说法错误，符合题意；D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，∴∠HEC＞∠B，本选项说法正确，不符合题意；故选：C．题型三利用外角性质求角度题型三利用外角性质求角度例1如图，在中，是延长线上一点，，，则（）例1A．B．C．D．【分析】由，直接可得答案．【解答】解：，，，故选：．变1如图，在中，，，延长到，则的度数为（）变1A．B．C．D．【分析】由三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：由三角形的外角性质得：；故选：．例2如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数为（）例2A．25°B．26°C．27°D．28°【答案】A【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：，，，故选：A．例3如图，，则（）例3A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平行线的性质求出，再根据邻补角，用表示出，最后根据三角形的外角即可求解．【详解】解：如图所示，∵，∴，∵，∴，∵是外角，即，∴，∴，故选：．变2如图，，点E在上，若，，则的度数是（）变2A．30°B．50°C．100°D．80°【答案】D【分析】根据得到，结合计算判断即可．【详解】∵，∴，∴，故选D．变3欣欣在观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（）变3A．23°B．26°C．28°D．32°【答案】C【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．【详解】解：如图，延长交于，，，，又，，故选：C．例4将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（）例4A．45°B．60°C．75°D．15°【答案】C【分析】先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可．【详解】解：由三角板的性质可得：，，∴，故选C．例5一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为（）例5A．15°B．18°C．25°D．30°【答案】A【分析】根据平行线的性质可以得到，再根据三角形的外角和内角的关系，即可计算出的度数．【详解】解：，，，，，，故选：A．变4一副三角板如图方式放置，其中，，点、分别在，上，与相交于点，，则的度数为（）变4A．85°B．75°C．60°D．50°【答案】B【分析】根据平行线的性质可得，再结合外角的性质求解即可．【详解】故选：B

．变5将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（）变5A．145°B．155°C．165°D．175°【分析】利用三角形的外角性质可求出∠AFD的度数，再利用邻补角互补可求出∠DFB的度数．【解答】解：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故选：C．例6如图，在中，，，，则的度数是（）例6A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角形外角的性质先求出，进而可求出的度数．【详解】∵，，，∴．∵，∴．故选C．例7如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（）例7A．70°B．80°C．90°D．100°【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，又，，，，，，，，，，故选：C．变6如图，在中，为边上的一点，，，，则的度数______．变6【答案】##度【分析】设，再用表示出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，进而可得出的值，由此得出结论．【详解】解：设，则．，，即，，．故答案为：变7如图，，，，点、、三点在一条直线上，，，则度数为（）变7A．B．C．D．【答案】B【详解】∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．故选：B．题型四利用外角性质求角度（折叠）题型四利用外角性质求角度（折叠）例1将纸片沿折叠使点A落在点处，若，则的度数为______．例1【答案】##度【分析】先由折叠的性质得到，再由三角形外角的性质推出，据此求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知，∵，∴，∵，∴，故答案为：．例2如图，将△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，连接AB′．若∠BDC=30°，则∠BAB′的度数为（例2A．25°B．30°C．45°D．60°【分析】根据折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算判断即可．∵△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，∠BDC＝30°，∴∠BDC＝∠B′DC＝30°，B′D=BD=AD，∴∠BAB′＝∠AB′D，∠BAB′+∠AB′D=60°，B′D=BD=AD，∴∠BAB′＝30°，故选B．例3如图，在中，，点D、E分别在上，将沿折叠，使点A落在点F处．则（）例3A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论．【详解】如图，∵△DEF是由△DEA折叠成的，∴∠1=∠2，∠3=∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2=180°，∴∠BDF=180°-2∠1．∵∠CEF+∠CED=∠DEF，∠CED=∠1+∠A，∠3+∠1+∠A=180°，∴∠CEF=∠3-∠CED=180°-∠1-∠A-∠1-∠A=180°-2∠1-40°=140°-2∠1．∴∠BDF-∠CEF=180°-2∠1-（140°-2∠1）=180°-2∠1-140°+2∠1=40°．故选：C．变1如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为______．变1【答案】##110度【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵，，∴，由折叠的性质得，，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．变2如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为（）变2A．32°B．33°C．34°D．38°【分析】由折叠的性质可知，再由三角形外角的性质即可求出的大小，再次利用三角形外角的性质即可求出的大小．如图，设线段和线段交于点F．由折叠的性质可知．∵，即，∴．∵，即，∴．题型五与外角有关的模型题型五与外角有关的模型例1例1【答案】∠BDC=∠A+∠B+∠C例2如图，，，，则的度数为______．例2【答案】##105度【分析】过点A，C，作射线，根据三角形的外角性质即可求得的度数．【详解】解：过点A，C，作射线，如图∵，∴∵，，，∴故答案为：变1如图，一种机械工件，经测量得∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°．那么不需工具测量，可知∠ABC=______°．变1【答案】92【分析】延长CB，交AD于点E，根据三角形外角的性质得出∠AEC=∠C+∠D=72°，∠ABC=∠A十∠AEC=92°．【详解】延长CB，交AD于点E．∵∠C=27°，∠D=45°，∴∠AEC=∠C+∠D=72°，∵∠A=20°，∴∠ABC=∠A+∠AEC=92°．故答案为92°．变2如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（）变2A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：如图：，，，，，故选：B．例3如图，，交于点．求证：．例3例4如图，______度．例4【答案】【分析】先由三角形的外角的性质得出，，，继而利用三角形外角和等于360°即可得出答案．【详解】解：如图所示，∵，，，∴，又∵、、是的三个不同的外角，∴，∴．故答案为：．变3如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为______.变3【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【解答】解：如图，∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案为：360°．变4如图，的度数为______度．变4【答案】【分析】如图，交于点，交于点，利用外角的性质，得到：进而得到：，即可得解．【详解】解：如图，交于点，交于点，则：，∴．故答案为：．课后强化课后强化1.如图，，，中是外角的是（）A．，B．，C．，D．，，【详解】属于外角的有．故选C．2.如图，是的一个外角，是边上一点，连接，下列结论不一定正确的是（）A．B．C．D．、【分析】三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．【解答】解：、是的一个外角，则，不符合题意．、是的一个外角，则是的一个外角，与无法比较大小，符合题意．、是的一个外角，则，不符合题意．、是的一个外角，则，不符合题意．故选：．3.观察如图，填空：（1），；（2）用“＞”或“＜”填空：；．【答案】(1)，，；(2)＞，＞【分析】（1）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得出答案；（2）根据三角形的外角大于和它不相邻的其他内角．【详解】（1）解：，；故答案为：，，；（2）解：用“＞”或“＜”填空：；，故答案为：＞，＞．4.如图，下列结论中不一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形外角的性质逐项判断即可．【详解】解∶根据题意，得，，，，∴，∴选项A、B、C都正确，无法判断，的大小，故选项D不一定正确．故选：D．5.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，两直角三角板各有一条直角边在同一条直线上，则的度数是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，利用三角形的内角和可求得，则由对顶角相等得，再利用三角形的外角性质即可求的度数．【解答】解：如图，由题意得：，，，，．故选：．6.如图，直线，，，则度数是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平行线的性质得出，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：，，∴，，，故选：C．7.如图，a//b，，，则的度数是______．【答案】##50度【分析】根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角可得，从而可得，最后进行计算即可解答．【详解】解：如图：∵，∴，∵是的一个外角，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．8.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°【答案】B【分析】根据三角板中角度的特点求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数即可．【详解】解：由题意得，，∴，∴，故选B．9.如图，在锐角三角形中，和分别是和边上的高，且和相交于点P，若，则的度数是（）A．B．C．D．【答案】C【分