2.3-全等三角形的判定（2） 带解析-2023年升初二人教版暑假衔接教材

❊2.3全等三角形的判定（2）考点先知考点先知知识考点“AAS”、“ASA”判定全等1.与“AAS”、“ASA”有关的添条件问题2.“AAS”、“ASA”判定全等“HL”判定三角形全等3.与“HL”有关的添条件问题4.“HL”判定三角形全等题型精析题型精析知识点一知识点一“ASA”和“AAS”全等三角形的判定原理内容全等三角形的判定（三）两个三角形的两个角与任意一边对应相等，则两个三角形全等.题型一添条件问题题型一添条件问题例1如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（）例1A．B．C．D．【答案】C【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解．【详解】解：补充条件，在与中∴，故选：C．例2如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE例2【分析】利用ASA定理添加条件即可．【解答】解：还需添加的条件是∠B=∠D，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B=∠D．变1如图，，若利用“”判定，则需要添加的一个直接条件是（）变1A．B．C．D．【答案】D【分析】找到根据“”判定需要的条件，作出证明即可．【详解】解：还需添加的条件是，理由是：在和中，，∴，故选：D．变2如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（）变2A．AB=DEB．∠A=∠DC．BF=CED．∠B=∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．【解答】解：需要补充的条件是∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA）．故选：B．题型二“ASA”和“AAS”判定全等题型二“ASA”和“AAS”判定全等例1如图，点A、、B、在同一条直线上，若，，求证：．例1【答案】见解析【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．【详解】证明：，，即，在和中，，，．例2如图，在中，为边上一点，，．求证：．例2【答案】证明见解析【分析】由三角形外角的性质及可得到，再结合图形并利用恒等变换可得到，最后利用即可得证．【详解】证明：∵，即，∵，∴，∵，∴

，∴，在和中，，∴．变1如图，在中，，，连接，E为边上一点，，求证：．变1【答案】证明见解析【分析】根据，得到，利用即可得证．【详解】证朋：，，，，．变2在和中，，，，求证：．变2【答案】见解析【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证．【详解】证明：，，即，在和中，，，．例3如图，，点D在边上，．求证：．例3【答案】见解析【分析】由三角形的外角的性质可得，由“”可证．【详解】证明：，且，，且，，在和中，，≌．变3如图，，，点在边上，，，相交于点．求证：．变3【答案】证明见解析【分析】欲证明，只要证明即可．【详解】证明：∵，且，∴，又∵，，∴∴．例4如图，在中，，，点是内部一点，连结，作，，垂足分别为点D，E．例4（1）求证：；（2）若，，则的长是______．【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）由“AAS”可证；（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．【详解】（1）证明：，，，．，，在和中，，；（AAS）（2）解：，，，．故答案为：7．变4如图，已知，点B，C，D在一条直线上，，，，与全等吗？为什么？变4【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出，求出，，再根据全等三角形的判定定理即可得出结论．【详解】，理由如下：∵∴∵∴∵∴∵∴在与中∴（ASA）知识点二知识点二“HL”全等三角形的判定原理内容全等三角形的判定（四）两个直角三角形的斜边与任意直角边对应相等，则两个直角三角形全等.【注意】“HL”仅适用于直角三角形.题型三添条件问题题型三添条件问题例1如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD例1【答案】BD=BC（或AD=AC）【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD=BC或AD=AC后可判定三角形全等．【详解】解：∵∠C=∠D，AB=AB，∴添加BD=BC或AD=AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD故答案为：BD=BC（或AD=AC）．例2如图，∠C=∠D=90°，添加下列条件：①AC=AD；②∠ABC=∠ABD；③BC=BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD例2A．0B．1C．2D．3【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解答】解：①当AC=AD时，由∠C=∠D=90°，AC=AD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②当∠ABC=∠ABD时，由∠C=∠D=90°，∠ABC=∠ABD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③当BC=BD时，由∠C=∠D=90°，BC=BD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故选：D．变1如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是_________．变1【答案】AD=CB（答案不唯一）【分析】根据垂直定义得出∠ABD=∠CDB=90°，根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等．【详解】解：需要添加的条件是AD=CB．理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°．在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故答案为：AD=CB．变2如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（）变2A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF【答案】D【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．【详解】解：∵，，∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．故选：D．题型四“HL”判定三角形全等题型四“HL”判定三角形全等例1如图，，，垂足分别为、，，．求证：．例1【答案】见解析【分析】求出，，根据证明即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即，在和中，，∴．即．变1如图，∠A=∠D=90°，BC=EF，AE=CD，求证：∠BCE=∠FED．变1【答案】见详解【分析】根据HL证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：如图所示，∵AE=CD，∴AE＋EC=CD＋EC，∴AC=ED在和中，∵∴，∴∠BCE=∠FED例2已知：BA⊥BD，FD⊥BD，AB=CD，AC=CF，求证：AC⊥FC例2【答案】见解析【分析】根据BA⊥BD，FD⊥BD，，再根据条件证明出，得出，得出，即可得到．【详解】解：BA⊥BD，FD⊥BD，，AB=CD，AC=CF，，，，，，．变2如图（1），，，点C是上一点，且，．变2（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．（2）如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）根据条件证明就得出，就可以得出；（2）根据可以得出，从而得出结论．【详解】（1）解：，理由如下，理由：∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴；（2）解：，理由如下，∵，∴，∵，∴，∴，∴．例3已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，．求证：例3（1）；（2）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质得出，然后根据直角三角形的性质和三角形内角和定理可求，即可得证．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴变3如图，在中，，，，为延长线上一点，点在上，且．变3（1）求证：；（2）求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用证明即可；（2）延长交于点，利用全等三角形的性质，以及对顶角相等，得到，得到，即可得证．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，，∴（）；（2）证明：延长交于点，则：，∵，∴，∴，∴，∴．例4如图，，垂足分别为D，E，相交于点O．如果．求证：平分．例4【答案】见解析【分析】先由，，得到，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再证明得到，即可证明平分．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，∴平分．变4如图，四边形中，，于点E，于点F，．求证：．变4【答案】答案见解析【分析】先根据证明，得，再根据证明，即可得答案．【详解】解：如下图，连接，∵，，，在和中，，，在和中，，．课后强化课后强化1.已知：如图，是上一点，，，．求证：．【答案】见解析【分析】由，得，由，结合三角形外角，可得，进而可证，即可证得．【详解】证明：∵，∴，∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．2.如图，中，，，是上一点，交的延长线于，于．（1）求证：；（2）若，，直接写出的长度．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据可以证明；（2）根据可得对应边相等，即可求出的长度．【详解】（1）证明：．．，．．．．同角的余角相等，在和中，，∴；（2）∵，，，．3.已知：如图所示，和有共同的顶点A，，，．求证：．【答案】详见解析【分析】先证，然后利用判定定理即可得出结论．【详解】证明：，∴，在和中，∴．4.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）因为∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°，所以∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°，故∠DBH=∠DAC；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC，又因为AD=BD，∠DBH=∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°∴∠DBH=∠HAE∵∠HAE=∠DAC∴∠DBH=∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC在△BDH与△ADC中，∠ADB=∠ADCAD=BD∴△BDH≌△ADC．5.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件：_________．【答案】或BE=CF【分析】根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，即可求解．【详解】解：∵，∴和都是直角三角形，可以补充：，理由如下：在和中，∵，，∴；可以补充：BE=CF，理由如下：∵BE=CF，∴，在和中，∵，，∴；故答案为：或BE=CF．6.如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：．【答案】见解析【分析】利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论．【详解】证明：∵DE=BF，∴DE+EF=BF+EF；∴DF=BE；在Rt△ADF和Rt△BCE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴∠B=∠D，∴．7.如图，在中，于点D，E为上一点，交于点F，若有，，试探究与的位置关系．【答案】【分析】根据“”证明，得出，证明，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴．8如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．【分析】（1）由∠1=∠2，可得DE=CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；（2）由∠1=∠2，可得DE=CE，再根据题意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可证得∠DEC=90°，即可得出．【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：∵∠1=∠2，∴DE=CE，而∠A=∠B=90°，AE=BC∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE=CE，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）结论：DE=CE且DE⊥CE，理由如下：∵∠1=∠2∴DE=CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，∴2（∠AED+∠BEC）=180°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°，∴