2.7-全等模型（2） 带解析-2023年升初二人教版暑假衔接教材

❊2.6全等模型（2）考点先知考点先知知识考点半角旋转模型1.半角旋转模型手拉手模型2.手拉手模型题型精析题型精析知识点一半角旋转模型知识点一半角旋转模型全等三角形的判定原理内容如图所示，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，延长CB至E，使得BE=DN，则△ABE≌△ADN，△AME≌△AMN，且BM+DN=MN.如图所示，AB=AC，∠BAC=2∠EAD，过A点作AF，使得∠BAF=∠CAD，则△ABF≌△ACD.题型一角平分线的性质题型一角平分线的性质例1已知正方形中，，且的两边分别交、于点、．试猜想线例1段、和之间的数量关系，写出猜想，并加以证明．【分析】延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出，从而得到．【解答】解：．理由：如图，延长至使得，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，．例2已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．例2（1）当绕点旋转到时（如图，求证：；（2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是_________；（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．【分析】（1）过作于，根据全等求出，，求出，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可；（2）证法与（1）类似，延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可；（3）在上截取，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可．【解答】（1）证明：如图1，过作于，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，即，；（2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下：延长至，使得，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，故答案为：；（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，由（1）知，，，，，．在和中，，，，即，．变1（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；变1（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；【详解】解：（1）证明：延长到，使得

连接

∵四边形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）证明：延长到，使得

连接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴变2（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；变2（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明；（2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：结论不成立，应当是，理由：如图②，在上截取，使，连接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．知识点二手拉手模型知识点二手拉手模型全等三角形的判定原理内容PP如图所示，AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=α，则△AED≌△ACB，且ED与BC的夹角为“α”，且AP平分∠EPB.【注意】手拉手模型的特点有：共顶点，且共顶点的两个三角形均为等腰三角形（亦可为等边三角形或正方形或矩形），且共顶点的两个顶角相等.题型二手拉手模型题型二手拉手模型例1已知：如图1，在和中，，，．例1（1）请说明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE=62°；（3）∠CBA=6°．【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB=∠EAD，结合已知条件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE=∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE=∠AEC=；【详解】解：（1）∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠CAD=∠DAB+∠CAD，即∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，∵∠EDA+∠MND+∠DMB=，∠CBA+∠ANB+∠DAB=，又∵∠MND=∠ANB，∴∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE=∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=，∴∠ACE=，例2如图，在和中，，，若．例2（1）求证：．（2）求的度数．【分析】（1）先，，得到，然后得证，从而得到；（2）先由得到，从而得到，然后由，得到是等边三角形，从而得到，最后得到的度数．【解答】（1）证明：，，在和中，，，．（2）解：，，，，，，，是等边三角形，，．变1如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段EC与BF数量关系和位置关系，并给予证明．变1【答案】EC=BF，EC⊥BF，理由详见解析【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出EC=BF，再利用角度之间的转化可得∠BMD=90°，即可证明EC⊥BF．【详解】解：EC=BF，EC⊥BF证明如下：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF，∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．变2如图，和都是等边三角形．变2（1）如图1，线段与是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．（2）如图1，若、、三点在一条直线上，与交于点，求的度数．【解答】解：（1），理由如下：和都是等边三角形．，，，，，；（2）由得，，，的度数是；例3如图，为线段上一动点（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，，、交于点．有下列结论：①；②；③当时，；④平分．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）例3【解答】解：，，即，在和中，，，，故①正确；，，，，，，，，，，，故②正确；，，，，，，，，故③正确；如图，连接，过点作于，于，，，，，，，，平分，故④正确，故答案为：①②③④．例4如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC例4BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是________．解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；∵∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG=OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO=∠ABO=72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO=∠DCO=72°=∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故③错误；变1如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的结论有________.变1【答案】①③④【解答】解：，，即，在和中，，，，所以①正确；，而与不确定相等，与不确定相等，和都是等腰直角三角形，，，，与不确定相等，所以②错误；，而，，，，所以③正确；过点作于，于，如图，，，平分，所以④正确．课后强化课后强化1.如图，在正方形ABCD中，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE=45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由．【答案】EF=BE+DF，见解析.【分析】将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠FAH=90°，由“SAS”可证△FAE≌△HAE，可得EF=HE=BE＋DF．【详解】解：EF=BE+DF．理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=∠EAH=45°，∵AF=AH，∠FAE=∠HAE，AE=AE∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF．2.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．（1）当绕点旋转到（如图时，求证：；（2）当绕点旋转到如图2的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）【分析】（1）在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，进一步可证明，可得结论；（2）在上截取，连接，可先证明，进一步可证明，可得到，从而可得到．【解答】解：（1）猜想：，证明如下：如图1，在的延长线上，截取，连接，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，又，；（2）．证明如下：如图2，在上截取，连接，和中，，，，，，即，，，在和中，，，，．3.如图，，都是等边三角形，则的度数是（）A．B．C．D．解：，都是等边三角形，，，，，，，，，，的度数是故选：．4.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有（）A．②④B．①②③C．①②④D．①②③④解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=DC，BC=CE，∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确由①得∠AEC=∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM=CN，②正确假使AC=DN，即CD=CN，△CDN为等边三角形，∠CDB=60°，又∵∠ACD=∠CDB+∠DBC=60°，∴假设不成立，③错误；∵∠DBC+∠CDB=60°∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB，∴∠DAE=∠DBC，④正确，∴正确答案①②④故选：C．5.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上一点，且DE=CE，连接BD，CD．（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和