经济应用数学教程-微积分课件：定积分及其应用（下）

《经济应用数学教程——微积分》《经济应用数学教程——微积分》

本节将分析和解决一些实际应用问题.其目的不仅在于建立一些公式，而更重要的是运用实际问题中经常采用的一种“微元法”的分析方法.它使得定积分应用于实践更加方便.什么是微元法呢？以下先来回顾一下本章第一节中讨论过的曲边梯形的面积问题.第五节

定积分在几何中的应用《经济应用数学教程——微积分》第二步，求和：在任意一个子区间上任取一点小曲边梯形的面积的近似值，曲边梯形的面积第一步，分割：

将区间任意分割成n个子区间《经济应用数学教程——微积分》.

如果将第三步近似形式中的用代替,用代替，即得为第三步中的被积表达式.

第三步，求极限：当时，曲边梯形面积《经济应用数学教程——微积分》于是，求面积过程如下：第一步，选取积分变量（或）,并确定其变化范围，例如选，在其上任取一个子区间；

第二步，取曲边梯形面积在子区间上的部分量的近似值，即.如图4－13.

叫做面积微元，记为.于是

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一般地，为求得某一实际问题中的量，只需先求出的微元量，然后，对取相应的定积分即可.这种方法通常叫做微元法.下面将应用这种方法来先来讨论一些几何问题.

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定积分为不规则的图形求面积问题提供了有效的解决方法.一、平面图形的面积

一般地，设是上的两条连续曲线.不论的位置如何，由这两条曲线及直线所围成的平面图形的面积的微元（如图4－14）总可以表示为，从而.《经济应用数学教程——微积分》类似地，设是上的两条连续曲线.不论的位置如何，由这两条曲线及直线所围成的平面图形的面积的微元总可以表示为，从而

.

《经济应用数学教程——微积分》例1

求由两条抛物线及所围图形的面积.

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例2求由抛物线，其上点处的切线与轴所围图形的面积.《经济应用数学教程——微积分》

例3求由曲线，直线，，所围图形的面积.

《经济应用数学教程——微积分》例4求由抛物线与所围成的平面图形面积

《经济应用数学教程——微积分》如果选取纵坐标y为积分变量， 积分变量的恰当选取，可使计算过程更加简便.《经济应用数学教程——微积分》例5求椭圆所围图形的面积.

《经济应用数学教程——微积分》由一平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转体的旋转轴.例如，矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的一条直角边、直角梯形绕它的直角腰和半圆绕它的直径旋转一周而成的分别是常见的圆柱体、圆锥体、圆台体和球体.

二、旋转体的体积

《经济应用数学教程——微积分》设有一旋转体，如图4－20(a)，是由连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，现在用定积分计算它的体积.取横坐标为积分变量，其变化范围时是.任取一子区间上的窄曲边梯形绕轴旋转一周而成的薄片的体积近似于以为底半径、为高的扁圆柱体的体积，即体积微元，于是

《经济应用数学教程——微积分》类似地，可求得由曲线轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为(如图4－20(b))

《经济应用数学教程——微积分》例6求由，所围图形分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体的体积.

解：(1)绕轴旋转,如图4-21(a)，取为积分变量,体积微元，积分区间为，所以旋转体体积为

《经济应用数学教程——微积分》(2)绕轴旋转,如图4-21(b)，取为积分变量,积分区间为,体积微元分别为，所求旋转体体积为

《经济应用数学教程——微积分》例7求由椭圆所围成图形绕轴旋转一周所得的旋转体(旋转椭球体)的体积.解：由对称性知，这个旋转体也可看作是由半个椭圆及轴围成的平面图形绕轴旋转一周而成的立体.积分区间为体积微元为《经济应用数学教程——微积分》故所以旋转椭球体的体积为

特别，当时，就得到了球体的体积公式.《经济应用数学教程——微积分》

*第六节定积分的近似计算如果被积函数是解析式，牛顿－莱布尼茨公式为计算定积分提供了有力的工具.但在许多实际问题中遇到的定积分，有一些函数不是用解析式，而是用图形或者用表格给出的，有一些被积函数虽然能用解析式表示，但要计算它的原函数却十分困难，或者它的原函数不能用初等函数表示；另一方面，许多实际问题的结果也不一定要求其精确值，因此需要解决定积分的近似计算问题.由于计算机日益普及，定积分的近似计算容易实现从而在实际应用中显得更加重要.

根据定积分(的几何意义是曲边梯形的面积，由此可以得到求定积分的近似值计算法的基本思想.下面介绍三种常用而简便的近似计算方法──矩形法、梯形法、抛物线法.《经济应用数学教程——微积分》一、矩形法矩形法就是把曲边梯形先分成若干个小曲边梯形，然后用小矩形来近似代替小曲边梯形，将小矩形的面积累加，从而求得定积分的近似值.具体做法如下：

（1）分割把区间分成等分，设分点为

每个小区间的长度均为，过各分点作平行于轴的直线，把曲边梯形分成个小曲边梯形（如图4－23）.设曲线与上述直线交点的坐标分别为

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（1）

（2）求和取小区间左端点的函数值作为小矩形的高，此时个小矩形的面积分别为所以

类似地，若取小区间的右端点的函数值作为小矩形的高，此时，个小矩形的面积分别为.所以有

（2）式（1）和式（2）都叫做矩形法公式.它们其中一个是不定积分的不足近似值而另一个是不定积分的过剩近似值.

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例1用矩形法计算，取计算到三位小数的近似值.

解：把区间分成10等份，设分点为将对应的函数值列表如下：《经济应用数学教程——微积分》利用矩形法公式(1)，得

《经济应用数学教程——微积分》也可以利用矩形法公式(2)，得

.

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为了提高计算的精确度，分割的小区间个数的取值一般较大，这一目标利用计算机编程容易达到.

如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，对于相同的分割等分n，得到定积分的近似计算公式比矩形法的精确程度更好．梯形法和抛物线法就是这一思想的具体体现．《经济应用数学教程——微积分》二、梯形法

梯形法就是先把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形然后连接曲线上相邻分点，得到小直角梯形，将小直角梯形面积累加，从而求得定积分的近似值.具体做法如下:

（1）分割

把区间分成等分，设分点为每个小区间的长度均为过各分点作平行于轴的直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（如图4—24）.设曲线与上述直线交点的坐标分别为《经济应用数学教程——微积分》《经济应用数学教程——微积分》式(3)叫做梯形法公式.由这个公式所得的近似值实际上是式(1)，式(2)所得近似值的平均值.

所以

(3)

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例2用梯形法计算，取计算到三位小数的近似值.解：把区间分成10等分，设分点为将对应的函数值，列于下表：《经济应用数学教程——微积分》由梯形公式(3)，得≈

=0.1×(0.5000+8.3403)≈0.884.

由梯形法求定积分近似值，当函数曲线为凹曲线时，计算结果就偏小；当函数曲线为凸曲线时，它就偏大．为了进一步提高精确度，可用与函数曲线凹凸性相同的抛物线来近似每个小区间上的曲线，这就是抛物线法．

《经济应用数学教程——微积分》三、抛物线法（Sinpson法）抛物线法就是把曲边梯形先分割成若干个小曲边梯形，然后用对称轴平行于轴的抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧，即以抛物线为曲边的小曲边梯形近似代替原小曲边梯形，从而算出定积分的近似值.具体做法如下：

（1）分割把区间分成等份，设分点为

每个小区间的长度均为，过各分点作轴的平行直线，与曲线交点的坐标分别为

从而得到个小曲边梯形（如图4－25）.《经济应用数学教程——微积分》

（2）求和

为不失一般性，不妨把轴平移至直线处，设过三点,,的抛物线方程为，以此抛物线为曲边的曲边梯形面积

《经济应用数学教程——微积分》注意到，因此可进一步化简为

同样地可以计算得到区间上以过三个点，的抛物线为曲边的曲边梯形的面积为

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上式称为抛物线公式（或辛普森（Simpson）公式）．

把以抛物线作曲线边构成的个曲边梯形的面积相加，即可得到定积分的近似值《经济应用数学教程——微积分》

例3分别用矩形法、梯形法和抛物线法计算定积分的近似值.解：把区间等分为段，设分点为()，对应的函数值()，计算数据见下表，《经济应用数学教程——微积分》则用矩形法（取左端点），得；用矩形法（取右端点），得；用梯形法，得；《经济应用数学教程——微积分》用抛物线法，得

由N—L公式知，定积分，因此，对于相同的分割等分n=10，三种近似计算方法中，其中抛物线法误差最小.

《经济应用数学教程——微积分》例4分别用矩形法、梯形法和抛物线法计算定积分的近似值.

解：由于被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿—莱布尼茨公式计算出此积分值.把区间等分为段设分点为()，对应的函数值()计算数据见下表，《经济应用数学教程——微积分》则用矩形法（取左端点），得用矩形法（取右端点），得利用梯形法，得；《经济应用数学教程——微积分》

当被积函数不用解析式给出，而通过图形或表格给出时，定积分的计算就只能采取近似计算的方法.

利用抛物线法，得

《经济应用数学教程——微积分》例5

某河床横截面如图4-26所示，测量各点()处所得的数据如下表所示（为测量站点，为河床深度，单位：米），分别用矩形法、梯形法和抛物线法计算该图形的面积.《经济应用数学教程——微积分》解：由定积分的几何意义知，该图形的面积等于曲线段在区间上的定积分，所以利用矩形法（取左端点），得利用矩形法（取右端点），得《经济应用数学教程——微积分》利用梯形法，得利用抛物线法，得

由以上三例可知，对于同一个问题取相同的，其精确程度依矩形法、梯形法、抛物线法而逐步增高；另一方面，计算定积分的近似值时，无论采用哪种方法，当取得越大则近似程度就越好．《经济应用数学教程——微积分》

第七节

定积分在经济分析中的应用举例

定积分在经济分析中也有着广泛的应用1、求原经济函数问题

由边际函数求原经济函数(即原函数)，一般采用不定积分来解决，也可以通过求一个变上限的定积分解决.利用变上限的定积分可以求总需求函数,总成本函数,总收益函数以及总利润函数.

设经济应用函数的边际函数为,则有《经济应用数学教程——微积分》例1

生产某产品的边际成本函数为,固定成本,求出生产个产品的总成本函数.例2某企业生产吨产品时的边际成本为(元/吨)，固定成本为元,求产量为多少时平均成本最低?《经济应用数学教程——微积分》例3某工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收益）是日产量的函数（单位：元/件）.该厂生产此种产品的能力为每小时30件，问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收益最大？并求出此最大总收益《经济应用数学教程——微积分》例4设生产个产品的边际成本,固定成本为元,产品单价为500元，假设生产的产品能完全销售,问产量为多少时利润最大?并求出最大利润.《经济应用数学教程——微积分》2、求经济函数在区间上的增量成本、收益和利润在产量的变动区间上的改变量（增量）分别等于边际成本，边际收益和边际利润在区间上的定积分，即

《经济应用数学教程——微积分》例5已知一工厂某商品边际收益为（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量从250t增加到300t时销售收入，总成本，利润的改变量（增量）.例6已知某产品边际产量为(件/天),求从第5天到第10天产品的产量.《经济应用数学教程——微积分》.3、求消费者剩余与生产者剩余

由第一章已知，需求函数是价格p的单调递减函数，供给函数是价格p的单调递增函数.如图4-27，其中，是生产者会生产此商品的最低价，是消费者会购买此种商品的最高价，经市场功能调节后，商品在市场均衡点处成交.

消费者以均衡价格购买了商品，他们本来打算出较高的价格购买这种商品，消费者因此而省下来的钱的总数称为消费者剩余.生产者以均衡价格出售了商品，他们本来打算以较低的售价售出这些商品，生产者因此而获得的额外收入称为生产者剩余《经济应用数学教程——微积分》即曲线三边形的面积；生产者剩余为

即曲线三边形的面积.

因为需求函数和供给函数都是单调函数，因此为计算消费者剩余和生产者剩余，可以把需求函数表示为即为反需求函数,供给函数表示为