备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第八章-培优课-§8-9-空间动态问题突破

§8.9空间动态问题

突破[培优课]第八章空间向量与立体几何空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现.常见题型有空间位置关系判定、轨迹问题、最值问题、范围问题等.例1

(1)(2023·昆明模拟)已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是A.AB⊥PQB.平面BPQ∥平面ADD1A1C.四面体ABPQ的体积为定值D.AP∥平面CDD1C1√题型一空间位置关系的判定对于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A正确；对于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合，∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B正确；对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值，∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误；对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，故D正确.(2)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是①直线MN∥平面A′BC；②当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB；③在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC；④当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

.A.①②

B.①③C.②③

D.③④√因为MN∥BC，MN⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC，故①正确；因为四棱锥A′－MNCB的底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB距离最大时，体积最大，此时平面A′MN⊥平面MNCB，满足题意，故②正确；如图，若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面MNCB，这显然不可能，故③错误；当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB，如图，则E是等腰梯形MNCB外接圆的圆心，F是△A′MN的外心，作OE⊥平面MNCB，连接OF，则OF⊥平面A′MN，则O是四棱锥A′－MNCB外接球的球心，故球O的表面积为4πR2＝39π，故④错误.解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化.(2)建立“坐标系”计算.思维升华跟踪训练1

(2022·杭州质检)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是

A.三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关B.A1P与平面ACD1相交C.平面PDB1⊥平面A1BC1D.AP⊥D1C√对于选项A，

在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以点P到平面AA1D的距离不变，即三棱锥P－AA1D的高不变，又△AA1D的面积不变，因此三棱锥P－AA1D的体积不变，即三棱锥A－A1PD的体积与点P的位置无关，故A不成立；对于选项B，由于BC1∥AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，所以平面BA1C1∥平面ACD1，因为A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B不成立；对于选项C，因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1，又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立；题型二轨迹问题例2

(1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝

，则动点P的轨迹是A.圆的一部分

B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分

D.椭圆的一部分√设d是△APC1边AC1上的高，直线AC1与平面ABCD既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCD上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCD内.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为______.如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，又C1G⊄平面CD1EF，D1E⊂平面CD1EF，所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定.(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.思维升华A.圆

B.椭圆C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分√建立如图所示的空间直角坐标系，设OB＝OA＝1，则B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)，所以点P的轨迹是椭圆.3π如图，当r＝1时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧，分别为

，

，

，当r＝

时，点P在正方体表面上的轨迹为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心，1为半径的

，在平面B1BCC1上为以B为圆心，1为半径的

，在平面DCC1D1上为以D为圆心，1为半径的

，最值、范围问题例3

(1)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为

题型三√取AC的中点O，连接D′O(图略).设∠ABC＝α，α∈(0，π)，因为D′O⊥平面ABC，(2)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________.因为在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，所以AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成的角为∠ADB，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值.在等腰Rt△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值.以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,1,1)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解.(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.思维升华跟踪训练3

(1)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大值是√如图，取AB的中点E，连接CE，DE，当平面ABC⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点.若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是______，最大值是_____.如图，取A1D1的中点N，A1B1的中点M，连接AM，AN，MN，NE，B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，N分别为B1C1，A1D1的中点，∴EN∥A1B1∥AB，EN＝A1B1＝AB，∴四边形ABEN为平行四边形，∴AN∥BE，又AN⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，∴AN∥平面BEF，∵E，F分别为B1C1，C1D1的中点，由中位线性质知EF∥B1D1，同理可知MN∥B1D1，∴MN∥EF，又MN⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴MN∥平面BEF，又AN∩MN＝N，AN，MN⊂平面AMN，∴平面AMN∥平面BEF，∵P是底面A1B1C1D1上一点，且AP∥平面BEF，∴P∈MN，在等腰△AMN中，当AP的长度最大时，P在M点或N点，课时精练1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为

因为当M在直线A1C1上时，都满足BM∥平面ACD1，√123456789102.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱DD1，BB1上的动点(异于所在棱的端点).则下列结论不正确的是

A.在点F运动的过程中，直线FC1可能与AE平行B.直线AC1与EF相交C.设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，

则点C1可能在直线PQ上D.设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1一定不在

直线PQ上√1234567891012345678910在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝C1D1，DD1＝BB1，B1C1＝AD，连接C1E，AC1，EF，当点E，F分别是棱DD1，BB1的中点时，故AE＝C1F，同理可得AF＝C1E，故四边形AEC1F是平行四边形，所以在点F运动的过程中，直线FC1可能与AE平行，AC1与EF相交，A正确，B正确；12345678910以C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱DD1，BB1中点且几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体时，设棱长为2，延长AE，A1D1交于点M，延长AF，A1B1交于点N，连接MN，则C1(0,0,0)，M(2，－2，0)，N(－2，2，0)，12345678910又两向量有公共点C1，所以C1，M，N三点共线，故点C1可能在直线PQ上，C正确，D错误.3.(2023·广州模拟)点P为棱长是

的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为A.π B.2π C.4π D.π√1234567891012345678910取BB1

的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，∴截面圆的半径为2，∴点P的轨迹的长度为2π×2＝4π.123456789104.如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中正确的是A.∠A′DB的大小会发生变化B.二面角A′－BD－C的平面角的大小

不会发生变化C.三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大D.A′B与DE所成的角先变大后变小√12345678910设A′D＝a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2＋BE2，∴∠A′DB的大小不会发生变化，故A错误；由三垂线法作出二面角A′－BD－C的平面角，可知其大小为定值，故B正确；12345678910设A′E＝x，则CE＝2－x(0<x<2)，则V三棱锥A′－BCE＝V三棱锥B－A′CE由二次函数的单调性，可知V先变大后变小，故C错误；A′B与DE所成的角先变小后变大，故D错误.5.在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动.若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是12345678910√12345678910如图所示，若固定正四面体P－ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动.所以原点O到点P的最小距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径，123456789106.已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法正确的是

A.直线DA与直线MB所成的角随x的增大而增大B.直线DA与直线MB所成的角随x的增大而减小C.直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而增大D.直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而减小√12345678910因为E，F分别为DC，AC的中点，所以EF∥DA，所以直线DA与直线MB所成的角等于直线EF与BM所成的角.在等腰△BEF中，直线EF与BM所成的角随着x的增大先增大，再减小，当M运动到EF中点时取到最大值，故A，B选项说法错误；12345678910因为EF∥AD，EF⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD，所以随着x的增大，d保持不变，MD在增大，所以sinα的值在减小，即α随着x的增大而减小，故C选项说法错误，D选项说法正确.123456789107.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是

A.若MN与平面ABCD所成的角为

，则点N的轨迹为椭圆B.若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC.若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D.若D1N与AB所成的角为

，则点N的轨迹为椭圆√如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A错误；1234567891012345678910对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，因为点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y,0)，12345678910所以点N的轨迹为双曲线，故D错误.123456789108.如图，在四棱锥P－ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB＝

，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN＋MN取最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥外接球的表面积为

√12345678910如图，在PC上取点M′，使得PM＝PM′，连接NM′，则MN＝M′N，AN＋MN＝AN＋M′N，则当A，N，M′三点共线时，AN＋M′N最小，为AM′，当AM′⊥PC时，AM′取得最小值，即AN＋NM′的最小值.因为此时M恰为PD的中点，所以M′为PC的中点，易知外接球的球心在四棱锥内部，设外接球的半径为r，123456789109.在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直且长度均为6，定长为l(l＜4)的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动(含边界)，若线段MN的中点