第1课时线段垂直平分线的性质与判定(七大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册同步精

（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》2.4线段、角的轴对称性第1课时线段垂直平分线的性质与判定知识点一知识点一线段的垂直平分线的性质与判定◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′，AP=A′P.直线MN是线段AA′的垂直平分线.说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.★★应用格式：（如右图）∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l，∴PA=PB．★★作用：证明线段相等.◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．★★应用格式：（如右图）∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.知识点二线段垂直平分线的画法知识点二线段垂直平分线的画法◆作线段的垂直平分线已知线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法：(1)如图，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于C，D(2)作直线CD，CD即为所求.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.题型题型一利用线段垂直平分线的性质求线段长【例题1】（2023春•文山市期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（）​A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm解题技巧提炼运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法.【变式1-1】（2022秋•攸县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12cm，AC＝15cm，则CF＝cm．【变式1-2】（2022秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定【变式1-3】（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【变式1-4】如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm．（1）证明：BE+EC＝AC；（2）求AC的长．【变式1-5】（2022秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．题型二题型二利用线段垂直平分线的性质证明线段相等【例题2】（2023春•尉氏县期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（）A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF解题技巧提炼此题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键,有时要利用三角形全等的知识来解决．【变式2-1】（2022春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（）A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG【变式2-2】（2022秋•开平市校级期中）如图，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在图中找出另外一对相等的线段吗？为什么？【变式2-3】（2022秋•成武县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．题型三题型三线段垂直平分线的判定【例题3】（2022秋•晋州市期末）下列说法错误的是（）A．若点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PA＝PB B．若PA＝PB，QA＝QB，则直线PQ是线段AB的垂直平分线 C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线解题技巧提炼垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线.【变式3-1】已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论，①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有．【变式3-2】如图，已知△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：直线AO⊥BC.【变式3-3】（2022•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上．【变式3-4】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．【变式3-5】（2023•增城区一模）如图，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一点，求证：∠ABP＝∠ACP．【变式3-6】（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．题型四题型四线段垂直平分线的作法【例题4】如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O．则AO的长为．解题技巧提炼本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式4-1】下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式4-2】如图，在三角形ABC中，分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点O，连接COA．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO【变式4-3】如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（）A． B． C． D．【变式4-4】（2021•桥东区二模）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（）A．AH是△ABC中BC边上的高 B．AH＝DH C．AC平分∠BAD D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【变式4-5】下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC中BC边上的高线AD．作法：如图，①点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E：②接AE交BC于点D．则线段AD是△ABC中BC边上的高线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接，．∵＝BA，＝CA，∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴BC垂直平分线段AE．∴线段AD是△ABC的BC边上的高线．题型五题型五线段垂直平分线的实际应用【例题5】（2023春•福田区校级期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（）A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点解题技巧提炼三角形三边的垂直平分线相交于一点且该点到三角形三个顶点的距离相等，因此在找到三个顶点距离相等的点时，只要画出三角形任意两条边的垂直平分线，其交点即为所求.【变式5-1】（2022秋•长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（）A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处【变式5-2】（2023•贵阳模拟）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（）A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三条边的中线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点【变式5-3】（2022春•胶州市期中）某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（）A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处【变式5-4】（2022秋•两江新区期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（）A．B．C．D．题型六题型六线段垂直平分线性质的综合应用【例题6】（2022秋•东胜区校级期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26cm，求OA的长．解题技巧提炼本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【变式6-1】（2022秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：AC∥FD；（2）∠B与∠CAE的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．【变式6-2】（2023春•砀山县校级期末）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．​【变式6-3】（2023春•峡江县期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．（1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．①求线段BC的长；②求线段OA的长．（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．题型七题型七角平分线与线段垂直平分线的综合应用【例题7】如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分线．解题技巧提炼本题考查的是线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式7-1】（2022秋•红安县期中）如图，A、B两点在射线OM、ON上，CF垂直平分AB，垂足为F，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，且AD＝BE．（1）求证：OC平分∠MON；（2）如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．【变式7-2】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G