备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第九章-§9-11-圆锥曲线中求值与证明问题

第九章平面解析几何§9.11

圆锥曲线中求

值与证明问题例1

(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：

＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；题型一求值问题由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消去y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.思维升华跟踪训练1

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0<t<1，则D(0，t)，题型二证明问题例2

(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.(1)求C的标准方程；由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右.设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.由(1)可知A(1,2)，B(1，－2).设直线l1的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.思维升华跟踪训练2

(2)动直线y＝

＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.课时精练基础保分练(1)求椭圆C的方程；12341234∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，1234123412342.(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.(1)证明：直线BC∥x轴；1234123412341234(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.12341234|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.1234综合提升练1234由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，12341234(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.1234由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得123412341234拓展冲刺练12341234(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－

的直线与过Q且斜率为

的

直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.1234由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，1234若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，1234123412341234当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，12341234若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线