2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷（鲁教版）

2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）抛物线y=3（x-2）2+5的对称轴是（）A.x=2 B.x=−2 C.x=5 D.x=−2平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A.2 B.4 C.2

或4 D.8如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在AB上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D．若PA=3cm，则△PCD的周长等于（）

A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（）x6.176.186.196.20y-0.03-0.010.020.04A.−0.01<x<0.02 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A.255

B.55

C.2

如图，已知二次函数y1=23x2-43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）A.0<x<2

B.0<x<3

C.2<x<3

D.x<0或x>3

将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（）A. B. C. D.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A.45∘

B.50∘

C.55∘

如图，直线y=x与抛物线y=ax2（a＞0）在y轴右侧依次交于A1，A2，A3…An，且OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An（n为正整数），其中经过点A1的抛物线为y=x2，则过点An的抛物线为（）A.y=1nx 2 B.y=1n−1如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的度数为（）A.40∘

B.50∘

C.60∘

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）如图所示，在直角△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分面积是S，则S与t之间的函数关系式是______．

如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m．

定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如min{1，-2}=-2，min{-1，2}=-1，则min{x2-1，-2}的值是______．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度）如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，BD⊥AC于D，若CD=4，则BD的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径．

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过多少秒，四边形APQC的面积最小．

青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC=CD，连接AD交⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若AE=25，sin∠BAE=23，求CF的长．

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y=-x2+3x-2可知，a1=-1，b1=3，c1=-2，根据：a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2、b2、c2，就能确定这函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”；

（2）若函数y=-x2+43mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2018；

（3）已知函数y=-12(x+1)(x−4)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=-12(x+1)(x−4)互为“旋转函数”．

已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵y=3（x-2）2+5，

∴此函数的对称轴就是x=2．

故选：A．

由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．

本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】C

【解析】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：

当点在圆外时，则⊙O的直径为6-2=4，半径是2；

当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2=8，半径为4，

故选：C．

分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．

本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．3.【答案】B

【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，

∴PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，

∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；

故△PCD的周长是6cm．

故选：B．

由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．

此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长，是解答此题的关键．4.【答案】C

【解析】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．

故选：C．

观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．5.【答案】D

【解析】解：∵∠DAB=∠DEB，

∴tan∠DAB=tan∠DEB=．

故选：D．

根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．

此题主要考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．6.【答案】C

【解析】解：∵二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），

∴由图象得：若0＜y1＜y2，则x的取值范围是：2＜x＜3．

故选：C．

由二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），然后观察图象，即可求得答案．

此题考查了二次函数与不等式的关系．注意掌握数形结合思想的应用是关键．7.【答案】C

【解析】解：当k＞0时，

函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，

当k＜0时，

函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，

故选：C．

根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图象，从而可以解答本题．

本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°．

∵=，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°．

故选：B．

先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．9.【答案】A

【解析】解：分别作A1B1垂直x轴，A2B2垂直x轴，…AnBn垂直x轴，

∵经过点A1的抛物线为y=x2，直线为y=x，

∴可得点A1坐标为（1，1），A1B1=1，OB1=1，

又∵A1B1∥A2B2∥AnBn，OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An，

∴可得A1B1=1，A2B2=2，…AnBn=n，

故可得抛物线经过点（n，n），代入抛物线y=ax2（a＞0），可得a=，

故抛物线方程为：y=x2．

故选：A．

分别作A1B1垂直x轴，A2B2垂直x轴，…AnBn垂直x轴，先根据题意求出A1的坐标，从而利用平行线分线段成比例的知识，可求出y=x与抛物线交点坐标的特点，继而代入抛物线方程即可得出答案．

此题属于二次函数的综合题，求出A1的坐标，利用平行线分线段成比例的知识求出An的坐标是解答本题的关键，难度一般．10.【答案】B

【解析】解：连结OD，如图，

∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，

∴BC垂直平分OD，

∴BD=BO，

∵OB=OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°，

∴的度数为为50°，

故选：B．

连结OD，先根据折叠的性质得到BC垂直平分OD，则BD=BO，易得△OBD为等边三角形，所以∠DOB=60°，则∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°．

本题考查了圆周角定理和折叠的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11.【答案】S=12t2（0≤t≤3）

解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，

∴∠AOB=∠A=45°，

∵CD⊥OB，

∴CD∥AB，

∴∠OCD=∠A，

∴∠AOD=∠OCD=45°，

∴OD=CD=t，

∴S△OCD=×OD×CD

=t2（0≤t≤3），

∴S与t之间的函数关系式是S=t2（0≤t≤3），

故答案为S=t2（0≤t≤3）．

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．

本题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数关系式是解决问题的关键．12.【答案】（42-4）

【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），

到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：

-2=-0.5x2+2，

解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4-4）米，

故答案为：4-4．

根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．13.【答案】-2

【解析】解：∵x2≥0，

∴x2-1≥-1，

∴x2-1＞-2．

∴min{x2-1，-2}=-2，

故答案为-2．

比较x2-1与-2的大小，得到答案．

本题考查的是与二次函数和一次函数有关的新定义，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键，注意：一次函数和二次函数的性质的运用．14.【答案】70°

【解析】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器所求弧所对的圆心角为70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．

故答案为：70°；

设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．

本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．15.【答案】163

解：如图，延长BO交⊙O于H，连接AH，

∵BH是⊙O的直径，

∴∠HAB=90°，

∴AH===6，

∵∠HAB=∠CDB=90°，∠H=∠C，

∴△HAB∽△CDB，

∴=，即=，

解得，BD=，

故答案为：．

延长BO交⊙O于H，连接AH，根据勾股定理求出AH，证明△HAB∽△CDB，根据相似三角形的性质列式计算即可．

本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．16.【答案】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．

（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，

则根据勾股定理列方程：

x2=122+（x-8）2，

解得：x=13．

答：圆的半径为13cm．

【解析】

（1）、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；

（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．

本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．17.【答案】解：设经过x秒，四边形APQC的面积最小

由题意得，AP=2x，BQ=4x，

则PB=12-2x，

△PBQ的面积=12×BQ×PB

=12×（12-2x）×4x

=-4（x-3）2+36，

当x=3s时，△PBQ的面积的最大值是36mm2，

此时四边形APQC的面积最小．

设经过x秒，四边形APQC的面积最小，根据题意列出△PBQ的面积关于x的解析式，根据二次函数的性质求出△PBQ的面积的最大值，得到答案．

本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．18.【答案】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，

x(y−10)=24000x(1+13)y=40000，

解得，y=50x=600，

∴x+13x=600+13×600=800，

答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；

（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，

y=（800+x）（50-x25）=−125(x−225)2+42025，

∴当x

（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；

（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．19.【答案】解：（1）连接OC．

∵BC=CD，OB=OA，

∴OC∥AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线．

（2）连接BE．

∵AB是直径，

∴∠BEA=90°，

∵sin∠BAE=BEAB=23，设BE=2k，AB=3k，

则AE=5k，

∵AE=25，

∴k=2，BE=4，

∵CF∥BE，BC=CD，

∴EF=DF，

∴CF=12BE=2．

（1）欲证明CF是切线，只要证明OC⊥CF即可；

（2）想办法求出BE，再证明CF是△BDE的中位线即可解决问题；

本题考查切线的判定、圆周角定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），

将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，

解得：a=-15，

∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-15（x-3）2+5（0＜x＜8）．

（2）当y=1.8时，有-15（x-3）2+5=1.8，

解得：x1=-1，x2=7，

∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．

（3）当x=0时，y=-15（x-3）2+5=165．

设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-15x2+bx+165，

∵该函数图象过点（16，0），

∴0=-15×162+16b+165，解得：b=3，

∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-15x2+3x+165=-15（x-15

（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．

本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．21.【答案】解：（1）由y=-x2+3x-2函数可知a1=-1，b1=3，c1=-2．

由a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，得

a2=1，b2=3，c2=2．

函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；

（2）由y=-x2+43mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数“，得

-2n=43m，-2+n=0．

解得n=2，m=-3．

当m=2，n=-3时，（m+n）2018=（2-3）2018=（-1）2018=1；

（3）∵当y=0时，-12（x+1）（x-4）=0，解得x=-1，x=4，

∴A（-1，0），B（4，0）．

当x=0时，y=-12×（-4）=2，即C（0，2）．

由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得

A1（1，0），B1（-4，0），C1（0，-2）．

设过点A1，B1，C1的二次函数y=ax2+bx+c，将A1，B1，C1代入，得

a+b+c=016a−4b+c=0c=−2，

解得a=12b=32c=−2，

过点A1，B1，C1的二次函数y=12x2+32x-2．

y=-12（x+1）（x-4）=-12x2+32x+2函数可知a1=-12，b1=32，c1=2．

由a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，得a2=12，b2=32，c2=-2．

y=-12（x+1）（x-4）的“旋转函数”为y=12x2+32x-2．

（1）根据y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数；

（2）根据y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数偶数次幂是正数，可得答案；

（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数．

本题考查了二次函数综合题，利用y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”得出a2，b2，c2是解题关键．22.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax