2023-2024学年度九年级第一学期期中数学模考试卷及答案

2023-2024学年度九年级第一学期期中数学模考试一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列事件中，随机事件是（

）A．掷一枚硬币，正面朝上 B．如果，那么C．对于实数a， D．两直线平行，同位角相等【答案】A2.如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A3.某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B4．已知，，是拋物线上的点，则（

）A． B． C． D．【答案】A5.如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B二次函数的图象如下左图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C7.同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为8cm，则该圆的半径为（

）A.1cm B.7cm C.2cm或14cm D.1cm或7cm【答案】D8.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（

）A．5元 B．10元 C．15元 D．20元【答案】A《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（

）A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸【答案】C如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论：①无论取何值，恒小于0：②将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形的面积为18．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为__________________【答案】y＝（x+1）2+1．12.已知圆弧的度数为，圆弧的半径为4，则弧长为_____．(结果用表示)【答案】13.一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m＝__．【答案】514.一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数解析式为，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．【答案】15.如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．【答案】316．如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点三个点，则不等式的解是．【答案】或如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC=BC=4，AD=14，求AB的长．【答案】16如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，是的外接圆．点D在抛物线的对称轴上，且，则点D的坐标是．

【答案】或三、解答题（本大题共6小题，共46分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19.已知抛物线经过点．求抛物线的函数表达式和顶点坐标．解：把代入得，解得，∴抛物线解析式为；∵，∴抛物线顶点坐标为．20.如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．

(1)求证：；(2)若，求的度数．解：（1）∵为弧的中点，∴，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵四边形为的内接四边形，∴，∴．21.某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．(1)甲选择“校园安全”主题的概率为______；(2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．解：（1）由题意，甲选择“校园安全”主题的概率为，故答案为：；（2）设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，则甲和乙选择不同主题的概率为．22.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．(1)写出S与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；(3)求矩形菜园面积的最大值．解：（1）设．则，∴；（2）由（1）得，则解得，（舍去），∴的长为；（3）①当时，由（1）得，∵，∴时，S的最大值为1250．②当时，则，S随的增大而增大，当时，的最大值为；综上所述，当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．解：（1）证明：∵C是的中点，∴，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中点，∴OC⊥AD，∴，∴，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．24.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）（1）∵点在抛物线的图象上，∴，∴，即抛物线解析式为：，当时，有，∴点的坐标为；（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图：∵，∴，，∴，当取最大值时，三角形面积为最大值．∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴当最大时，最大，设直线解析式为，将、代入，得：，∴，∴直线解析式为，设，，则，∴，∵，∴当时，最大为，∴此时最大为，∴面积的最大值：，即面积最大值为：；（3）存在．∵，∴抛物线的对称轴为直