2024年中考模拟试卷数学（河北卷）

2024年中考第三次模拟考试（河北卷）数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有理数−3的相反数是（）A．−3 B．3 C．−13 2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（

）A． B．C． D．3．下列各式计算结果为a6的是（

A．a2⋅a3 B．a24 4．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A．

B．C． D．5．要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（

）A． B．C． D．6．下列算式中，与有理数−223相等的是（A．−2×23C．−2+23 7．不等式组−4x−8>−x+13x≤x+52A． B．C． D．8．图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（

）A．

B．C．

D．

9．已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（

）A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍10．已知两艘轮船以相同速度从港口O同时出发，甲轮船航行的方向是北偏东60°，乙轮船航行的方向是南偏东60°，经过相同时间t后，乙轮船行驶的路程为a．关于甲、乙两轮船的位置，说法如下：①甲轮船在乙轮船的东北方向； ②甲轮船在乙轮船的正北方向；③甲、乙两轮船之间的距离为a； ④甲、乙两轮船之间的距离大于a．其中判断正确的有A．①③ B．①④ C．②③ D．②④11．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（

）化简：■−A．x−3x−1 B．x+3x−1 C．x212．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（

）mm．A．30−26 B．37−46 C．23+2613．定义新运算：m※n=m2−mn−3，例如：2×3=A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．有实数根 D．没有实数根14．如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为0,2，现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B动到了⊙O上点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上点A．0,2 B．(−1−C．0,−2 D．(2+15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（

）A．16 B．14 C．3816．如图，在△ABC中，以A、B为圆心，AC、BC长为半径分别作弧交于点C'，连接BC'、AC'，在C'B上截取点M，以点C'为圆心，C'M长为半径作弧交C'C于点N，以大于12MN的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点A．1395 B．105−2 C．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．若27与最简二次根式5a−1可以合并，则a=18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：．（填①或②）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是．（用含a的代数式表示）19．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y=kxk≠0，x>0的图象交于点C，D，过点C，D分别作y轴、x（1）若图中阴影部分的面积等于3，则k=；（2）若CD=5AC，且EF=1，则AB=．三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：售出数量（件）493545与标准价的差（元）+5+2+1−2−4−6(1)总进价是________元．(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？21．【观察思考】毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．【规律发现】（1）图1中，第n个三角形数是___________；图2中，第n个正方形数是______；（请用含n的式子表示）【猜想验证】（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1+3=4，6+10=16，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a<60为不合格、60≤a<80为合格，80≤a<90为良好，90≤a≤110为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：(1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：①中位数一定落在80分—90分这一组内；②众数一定落在80分—90分这一组内；③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．上述结论中错误的是________（填序号）．(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与(m−x)的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；②求满足条件的抛物线解析式：(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度OA，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网CD高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．24．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：cos43°=sin47°≈11(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？(3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO=8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN25．根据以下素材，探索完成任务一：如何设计购买方案？素材1某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．素材2由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．问题解决任务1确定场馆门票价格求A场馆和B场馆的门票价格．任务2探究经费的使用若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．任务3拟定购买方案若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案．探索完成任务二：如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返回，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为t（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的函数关系．（1）B，C两场馆之间的距离为______（2）第二组步行的速度为______km/h；（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．26．四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为EP上一点．(1)如图1，若点E是BC边的中点，且EF=AE，连接CF，则∠DCF=________°；(2)如图2，若点E是BC边上一点（不与B，C重合），∠DCF=45°，判断线段EF与AE的数量关系，并说明理由；(3)若正方形边长为1，且EF=AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积．

2024年中考第三次模拟考试（河北卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有理数−3的相反数是（）A．−3 B．3 C．−13 【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．【详解】解：有理数−3的相反数是3，故选：B．2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形，故选：C．3．下列各式计算结果为a6的是（

A．a2⋅a3 B．a24 【答案】D【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．依次根据定义化简每一项即可．【详解】解：A、a2B、a2C、a3D、a8故选：D．4．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A．

B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．5．要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意．故选：C．6．下列算式中，与有理数−223相等的是（A．−2×23C．−2+23 【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法，加减运算．根据有理数的乘法，加减运算逐项判断即可求解．【详解】解：A、−2×B、−2×C、−2+2D、−2−2故选：D7．不等式组−4x−8>−x+13x≤x+52A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解两个不等式，在数轴上表示不等式的解集，即可求解．【详解】解：−4x−8>−x+1解不等式①得：x<−3解不等式②得：x≤1在数轴上表示不等式的解集如图，故选：A．8．图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（

）A．

B．C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有较强的空间想象能力，难度不大．根据三视图结合四个选项找到正确的答案即可．【详解】解：根据俯视图是一个正方形，只有选项C符合题意，其他选项均不符合题意，故选：C．9．已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（

）A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)=7.7×10﹣6倍，故选C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．已知两艘轮船以相同速度从港口O同时出发，甲轮船航行的方向是北偏东60°，乙轮船航行的方向是南偏东60°，经过相同时间t后，乙轮船行驶的路程为a．关于甲、乙两轮船的位置，说法如下：①甲轮船在乙轮船的东北方向； ②甲轮船在乙轮船的正北方向；③甲、乙两轮船之间的距离为a； ④甲、乙两轮船之间的距离大于a．其中判断正确的有A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】根据题意得出△AOB是等边三角形，即可求解．【详解】解：如图所示，

依题意OA=OB，∵∠AOB=180°−60°−60°=60°∴△AOB是等边三角形，∴∠OAB=60°=∠AOC，∴AB∴甲轮船在乙轮船的正北方向；甲、乙两轮船之间的距离为a；故②③正确，故选：C．【点睛】本题考查了方位角，等边三角形的性质与判定，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．11．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（

）化简：■A．x−3x−1 B．x+3x−1 C．x2【答案】A【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分的式子为x+1x−1【详解】解：残损部分的式子为x+1==x−3故选：A．12．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（

）mm．A．30−26 B．37−46 C．23+26【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．作出图形，证明BD是⊙O的直径，由垂径定理得AG=BG，求得⊙O的直径为14，再根据三角形中位线定理结合勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接BD、OA、OB、OC，OC交AB于点G，∵∠DAB=90°，∴BD是⊙O的直径，由垂径定理得AG=BG，∴OG是△BAD的中位线，∴OC∥∴BCBE∴BC=CE，∴OC=1∴⊙O的直径为14，∵AB=10，∴AD=14∴AE=14−46∵CF∥∴EFAE∴EF=7−26∴点F的高度即点C的高度为7−26故选：A．13．定义新运算：m※n=m2−mn−3，例如：2×3=22A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．有实数根 D．没有实数根【答案】B【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：x※整理，得：x2∴Δ=∴方程有两个不相等的实数根；故选B．14．如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为0,2，现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B动到了⊙O上点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上点A．0,2 B．(−1−C．0,−2 D．(2+【答案】C【分析】本题考查图形与旋转，根据题意找到规律，12次为一个循环，则C2024的坐标与C8相同，求出【详解】解：如图，由图可知，每12次一个循环，∵2024÷12=168⋯8，∴点C2024的坐标与C由图和题意，可知：C8∴点C2024的坐标为0,−2故选C．15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（

）A．16 B．14 C．38【答案】C【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：列表得：101520谢谢惠顾102025301015253035152030354020谢谢惠顾1015200由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种，∴小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率=6故选：C．16．如图，在△ABC中，以A、B为圆心，AC、BC长为半径分别作弧交于点C'，连接BC'、AC'，在C'B上截取点M，以点C'为圆心，C'M长为半径作弧交C'C于点N，以大于12MN的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点C'与这点连线的直线交BCA．1395 B．105−2 C．【答案】B【分析】通过作图痕迹推导出△BCC'，△ACC'为等腰三角形，C'P为角平分线；通过三角形全等，证明BO⊥CC'，结合角平分线的性质，可得△CKI≅△C'OI；在△BKI中用勾股定理，计算出BI；再由CH∥BO【详解】延长BA交CC'于点O，作CH∥BO交C'由题意可知，BC'=BC=25，AC在△BAC'和△BAC∴△BA∴∠C在△BC'O和∴△B∴∠BOC'=∠BOC又∵∠BOC∴∠BOC在Rt△BOC'中，BC∴BO=B∵C'P平分∠BC'C，过点I作IK⊥B∴IK=IO在Rt△C'KI和∴Rt△∴C∴BK=2设IO为x，则IK=x，BI=4−x，在Rt△BKI中，BI即(4−x)可得x=5即BI=4−(5∵HC∥IO，∴∠C'IO=∠H，∠C'∴△C'IO∼△又∵C'O=2，∴IOCH∴CH=2IO=2又∵△BIP∼△CHP，∴BICH不妨设BP=5a，CP=2a，∴5a+2a=2∴a=2∴BP=5故选：B．【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．若27与最简二次根式5a−1可以合并，则a=【答案】4【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键．【详解】解：由27=3∵27与最简二次根式5a−1∴a−1=3，解得：a=4，故答案为：4．18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：．（填①或②）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是．（用含a的代数式表示）【答案】图①109【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2a∴小三角形的高=(2a)2∴S正六边形图①由10个正六边形构成S=10×63图②由10个正六边形和4个正三角形构成S=10∵60∴图①更节省空间故答案为：①（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB=3×23在Rt△AOB中，AB=a，OB=6OA=AB纸盒底面最小半径是109故答案为：109【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．19．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y=kxk≠0，x>0的图象交于点C，D，过点C，D分别作y轴、x（1）若图中阴影部分的面积等于3，则k=；（2）若CD=5AC，且EF=1，则AB=．【答案】67【分析】（1）连接OC．由图可知S△CEO=S（2）由（1）可知该反比例函数解析式为y=6xx>0，设Cp，6p，Dq，6q，则E0，6p，Fq，0．利用待定系数法求直线CD的解析式为y=−6pqx+6q−6p，直线EF的解析式为y=−6pqx+6p，则EF∥CD．即可证四边形DBFE和四边形ACEF【详解】解：（1）如图，连接OC．

由图可知△CEO与△CEF同底等高，∴S△CEO∵点C在反比例函数y=kxk≠0∴S△CEO=k解得：k=±6．∵该反比例函数位于第一象限，∴k=6．故答案为：6；（2）由（1）可知该反比例函数解析式为y=6∴可设Cp，6∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴E0，6设直线CD的解析式为y=ax+b，则6p=pa+b6∴直线CD的解析式为y=−6设直线EF的解析式为y=a则6p=b∴直线EF的解析式为y=−6∴EF∥CD．∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴DF∥BE，CE∥AF，∴四边形DBFE和四边形ACEF都为平行四边形．如图，连接OD，过点F作FG⊥AB于点G．

∵点D在反比例函数y=6xx>0∴S△DFO∵△DFO与△DEF同底等高，∴S△DFO∴S▱DBFE∵S△CEF∴S△ACF∵CD=5AC，且△ACF和△CDF等高，都为FG的长，∴S△CDF∴S梯形∵S△CEF=1∴12解得：FG=6．∵S梯形∴12解得：AB=7．故答案为：7．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用，等积法的应用，三角形和梯形的面积公式等知识，较难．正确作出辅助线，并掌握反比例函数k的几何意义是解题关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：售出数量（件）493545与标准价的差（元）+5+2+1−2−4−6(1)总进价是________元．(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？【答案】(1)960(2)34；13(3)225元【分析】（1）用件数乘以单件进价计算即可；（2）用标准价减去6即可得出最低售价，算出最高售价再减去进价即可；（3）算出总售价减去总进价计算即可；【详解】（1）解：30×32=960，∴总进价是960元．故答案为：960；（2）解：①最低售价是：40−6=34（元）；②最高利润为：40+5−32=13（元）；故答案是：34；13；（3）解：根据题意可得：4×40+5【点睛】本题主要考查了正数和负数的实际应用，准确计算是解题的关键．21．【观察思考】毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．【规律发现】（1）图1中，第n个三角形数是___________；图2中，第n个正方形数是______；（请用含n的式子表示）【猜想验证】（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1+3=4，6+10=16，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．【答案】（1）nn+12，【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．（1）根据题意得出第n个三角形数为nn+12，第n个正方形数为（2）设任意两个三角形数为第k个数和第(k+1)个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．【详解】（1）由题意知第n个三角形数为1+2+3+⋯+n=n第n个正方形数为n2故答案为：nn+12，（2）设任意两个三角形数为第k个数和第(k+1)个数，则k===k+1所以任意第k个数和第(k+1)个三角形数之和恰等于第(k+1)个正方形数；即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a<60为不合格、60≤a<80为合格，80≤a<90为良好，90≤a≤110为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：(1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：①中位数一定落在80分—90分这一组内；②众数一定落在80分—90分这一组内；③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．上述结论中错误的是________（填序号）．(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与(m−x)的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？【答案】(1)45人，补全图形见解析(2)②④(3)x=10合理；【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及60≤a<70的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可；（2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案；（3）根据x与(m−x)的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解x，结合得分60分以下的学生有200×5%【详解】（1）解：∵6+8÷35∴40−2−8−9−8−6=7，∵200×9六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人；∵良好占9÷40=22.5%∴合格占1−22.5补全条形图如下：

（2）由40个数据，第20个，第21个数据落在80分—90分这一组，故①正确；众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；∴上述结论中错误的是②④；（3）由（1）得：m=200×35%=70，样本容量为∴x70−x整理得：x2解得：x1=10，∵得分60分以下的学生有200×5%∴x=10合理；【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键；23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；②求满足条件的抛物线解析式：(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度OA，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网CD高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．【答案】(1)①49，230；②y=−0.0025(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为4.11cm【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y=0时，x=230；②待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025x−h2+49，当x=274【详解】（1）解：①观察表格数据，可知当x=50和x=130时，函数值相等，∴对称轴为直线x=50+1302=90∵抛物线开口向下，∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm当y=0时，x=230，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm故答案为：49；230；②设抛物线解析式为y=a(x−90)将(230,0)代入得，0=a(230−90)解得：a=−0.0025，∴抛物线解析式为y=−0.0025(x−90)（2）解：∵运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变∴可设平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025x−h依题意，当x=274时，y=0，即−0.0025274−h解得：h1=134，当h1=134,x=0答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为4.11cm24．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：cos43°=sin(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？(3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO=8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN【答案】(1)1.5(2)0.7(3)至少经过7.6秒恰好在直线MN上【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，找对相应直角三角形是解决问题的关键．（1）连接OA，根据cos∠AOC=OCOA（2）根据题意知，∠AOP=3.4×5°=17°，得∠POC=∠AOC+∠AOP=43+17°=60°，过点P作PD⊥OC于D，利用三角函数求出OD的长；（3）由题意知OP⊥MN，利用cos∠POM=OPOM=38，得∠POM=68°，在【详解】（1）解：如图，连接OA，由题意知，筒车每秒旋转360°×5在Rt△ACO中，cos∴∠AOC=43°，∴盛水筒P首次到达最高点的时间：180°−43°5（2）解：如图，∵盛水筒P浮出水面3.4秒后，∠AOP=3.4×5°=17°，∴∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+17°=60°，过点P作PD⊥OC于D，在Rt△PODOD=OP⋅cos∴盛水筒P距离水面距离为：2.2−1.5=0.7（米）；（3）解：如图，∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∴∠POM=68°，在Rt△COM中，cos∴∠COM=74°，∵∠POH=180°−68°−74°=38°，∴38∴至少经过7.6秒恰好在直线MN上．25．根据以下素材，探索完成任务一：如何设计购买方案？素材1某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．素材2由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．问题解决任务1确定场馆门票价格求A场馆和B场馆的门票价格．任务2探究经费的使用若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．任务3拟定购买方案若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案．探索完成任务二：如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返回，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为t（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的函数关系．（1）B，C两场馆之间的距离为______（2）第二组步行的速度为______km/h；（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．【答案】任务一：任务1：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元；任务2：1210元；任务3：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票或购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票；任务二：（1）2；（2）10；（3）0.8h【分析】任务一任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意列出一元二次方程组解答即可求解；任务2：设购买A场馆门票a张，购买门票所需总金额为w元，求出w与a之间的函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解；任务3：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，根据题意列出一元二次方程，得到n=20−65m任务二（1）根据函数图象即可求解；（2）根据函数图象得到第二组2个小时步行了20km（3）利用（2）中的结果即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用，根据题意，正确得到方程（组）和函数解析式是解题的关键．【详解】解：任务一任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，由题意，得x+y=903x+2y=230解得x=50y=40答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元；任务2：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票40−2a张，依题意，得a<40−2a，解得a<40设此次购买门票所需总金额为w元，则w=50a+4040−